一、填充題
1.
如下圖，矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{AD}=4\)，且有一點\(P\)從\(B\)點沿著\(\overline{BD}\)往\(D\)點移動。若過\(P\)點作\(\overline{AB}\)的垂線交\(\overline{AB}\)於\(E\)點，過\(P\)點作\(\overline{AD}\)的垂線交\(\overline{AD}\)於\(F\)點，則\(\overline{EF}\)的長度最小值為
。
2.
如下圖，\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)兩點分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)上，\(F\)、\(G\)兩點在\(\overline{AC}\)上，且\(\overline{DF}// \overline{BG}\)，\(\overline{BF}// \overline{EG}\)。若\(\triangle ADF\)、\(\triangle DBF\)、\(\triangle GBC\)的面積分別為20、30、60，則\(\overline{BE}\)與\(\overline{EC}\)的長度比為
。
3.
坐標平面上有一水平線\(L\)與二次函數\(y=a(x+7)^2-10\)的圖形，其中\(a\)為一正數，且\(L\)與二次函數圖形相交於\(A\)、\(C\)兩點，與\(y\)軸相交於\(B\)點，其位置如下圖所示。若\(\overline{AB}:\overline{BC}=5:1\)，則\(\overline{AC}\)的長度為
。
4.
已知\(a=2026x-1\)，\(b=2026x\)，\(c=2026x+1\)，則\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\)
。
5.
計算\(\displaystyle\frac{2026^2-2025^2+2024^2-2023^2+\cdots+4^2-3^2+2^2-1^2}{2027}=\)
。
6.
若方程式\(x^2-2026x+1=0\)之兩根為\(a\)和\(b\)，方程式\(x^2-2025x+1=0\)之兩根為\(c\)和\(d\)，則\((a+c)(b+c)(a-d)(b-d)=\)
。
7.
義勇和伊之助兩人一同到鬼滅樂園遊玩。樂園中有一座摩天輪共有八組車廂，其座位圖如下圖，假設每個車廂可搭兩人，且被選到機會都相同，則兩人剛好選到相鄰車廂的機率是
。
8.
如下圖，矩形\(R_1\)、\(R_2\)和正方形\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)，組合成一個長為3366單位和寬為2026單位的矩形，請問正方形\(S_2\)的邊長是
單位。
9.
某校手作社要購買材料包，材料包分為甲、乙兩種。
材料包 | 單價 | 可供學生人數 |
甲材料包 | 180元 | 3人 |
乙材料包 | 260元 | 5人 |
手作社共有58位學生參加，社團希望購買的材料包剛好可供所有學生使用，不多也不少，且總費用最低，求最低總費用為
元。
10.
如下圖，\(\triangle ABC\)和五邊形\(BCDEF\)均為正多邊形，且有一圓通過\(A\)、\(E\)、\(F\)三點，若此圓與直線\(DE\)相交於\(P\)點，則\(\angle APD=\)
度。
11.
在一座大型生態園區中，有一條筆直的景觀步道，若在坐標平面上將此步道抽象化為\(x\)軸。園區內有兩座著名的打卡涼亭，其坐標分別為\(A(-2,5)\)與\(B(4,3)\)（單位的長度為百公尺）。若園區規劃在步道（\(x\)軸）上設置一個流動餐車停靠點\(P\)，以方便遊客從\(A\)涼亭出發，步行至餐車\(P\)購買點心後，再前往\(B\)涼亭。若要讓遊客從\(A\to P\to B\)的總步行距離最小，則此餐車停靠點\(P\)的\(x\)坐標應設為
。
12.
如下圖，設\(ABCDEF\)是等角六邊形（即每一個內角都是\(120^\circ\)），若\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=4\)，\(\overline{CD}=3\)，\(\overline{DE}=4\)，求此六邊形的面積為
平方單位。
13.
已知鈍角三角形之三邊長為\(10,15,k\)，其中\(k\)為正整數，則滿足此條件的\(k\)共有
個。
14.
有九個數字4、8、16、32、64、128、256、512、1024，將此九個數字分別填入下圖魔方陣的九個方格中，使得所有直行、橫列與對角線上的每三個數的乘積相同，則\(A+B+C=\)
。
\(128\) | \(A\) | |
| \(B\) | \(C\) |
| \(1024\) | |
15.
已知\(\triangle ABC\)三邊上的高分別為\(3\)、\(4\)、\(x\)，則\(x\)的範圍為
。
16.
一間主打台灣道地小吃的餐廳推出一款招牌滷肉飯。根據市場調查，若每碗定價30元，平均每天可賣出200碗；若每碗定價每調升2元，每天的銷量就會減少10碗。已知每碗滷肉飯的食材與製造成本固定為18元。若老闆希望這款滷肉飯每天的「總利潤（總營收減去總成本）」能達到3200元，且為了回饋顧客，定價要
儘可能便宜，則每碗滷肉飯的定價應設為
元。
17.
\(C_1^{100}+C_2^{101}+\cdots+C_{31}^{130}=\)
（以\(C\)表示）。
18.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}=\)
。
19.
求函數\(f(x)=x^3-x^2-x+5\)的反曲點座標為
。
20.
\(10!\equiv x\pmod{11}\)，求\(x\)的最小正整數值為
。
21.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=\)
。
22.
求\(\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}x\cos x dx=\)
。
23.
求\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\)與\(g(x)=3-2x\)所圍成區域的面積為
。
24.
設\(A=\begin{bmatrix}4&1\\0&2\end{bmatrix}\)，則矩陣\(A\)的特徵值\(\lambda\)為
。
25.
設微分方程式\(y''-5y'+6y=0\)，則其通解為\(y=\)
。
