1.
已知直角三角形，斜邊上的中線長是1，問其面積最大是多少呢？
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1
2.
已知\(f(x)\)是一個三次多項式，\(f(1)=0\)，\(f(2)=2\)，\(f(-1)=2\)，\(f(-2)=-6\)，求\(f(3)\)的值。
(A)13 (B)16 (C)14 (D)19
3.
有一直徑為\(\overline{AB}\)的圓，且圓上有\(C,D,E,F\)四點，其位置如右圖一所示。若\(\overline{AC}=6\)，\(\overline{AD}=8\)，\(\overline{AE}=5\)，\(\overline{AF}=9\)，\(\overline{AB}=10\)，則下列弧長關係何者正確？
(A)\(\widehat{AC}+\widehat{AD}=\widehat{AB}\)，\(\widehat{AE}+\widehat{AF}=\widehat{AB}\)
(B)\(\widehat{AC}+\widehat{AD}=\widehat{AB}\)，\(\widehat{AE}+\widehat{AF}>\widehat{AB}\)
(C)\(\widehat{AC}+\widehat{AD}>\widehat{AB}\)，\(\widehat{AE}+\widehat{AF}>\widehat{AB}\)
(D)\(\widehat{AC}+\widehat{AD}<\widehat{AB}\)，\(\widehat{AE}+\widehat{AF}<\widehat{AB}\)
4.
先求\(\displaystyle\frac{6x-2}{x^2+5}+\frac{x^2+5}{6x-2}=2\)的所有解，問這些解的和是
(A)\(-1\) (B)6 (C)7 (D)9
5.
設\(a\)為正整數且\(1\le a\le2026\)，已知\(3^{3a+1}\)與\(a^3\)被5除的餘數相同，求這樣的\(a\)共有多少個？
(A)401 (B)405 (C)410 (D)416
6.
在直角坐標系中，已知兩定點\(A(-3,3)\)，\(B(2,-4)\)，且動點\(C\)落在兩坐標軸上，使得\(\triangle ABC\)形成直角三角形，則\(C\)點坐標為有理數的情形有多少種？
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
7.
已知\(A\)，\(B\)為樣本空間\(S\)中的兩個獨立事件，且\(P(A\cup B)=0.84\)，則\(P(A\cap B)\)的最大值為多少？
(A)\(0.36\) (B)\(0.4\) (C)\(0.48\) (D)\(0.6\)
8.
投擲一個兩面的錢幣直到出現2次正面或2次反面時才停止投擲，令隨機變數\(X\)為投擲停止的次數。假設出現正面的機率為\(p\)，求\(X\)的期望值為多少？
(A)\(2-p^2+2(1-p)^2\) (B)\(3-p^2-(1-p)^2\) (C)\(2-p^2+(1-p)^2\) (D)\(3+p^2-2(1-p)^2\)
9.
若\(x,y\)皆為任意實數，則\(|x-y-1|+|x+y|+|y|\)的最小值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{2}{3}\) (C)1 (D)\(\displaystyle\frac{3}{2}\)
10.
如右圖二，已知\(\overline{AB}=\overline{AC}=3\overline{AD}=3\)，\(\angle BAC=\angle BDE=90^\circ\)，則\(\triangle CDE\)的面積為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{3}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{5}{2}\) (D)\(\displaystyle\frac{7}{2}\)
11.
有美國人、英國人與法國人各四人，合計共12人，現在玩遊戲需要每兩個人配對成一組，共配對成六組，但相同國籍的人不能在同一組，且此六組不管排列順序，則共有多少種配對方法？
(A)864 (B)1126 (C)1560 (D)1728
12.
已知四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{BC}// \overline{AD}\)，\(\overline{AC}\)平分\(\angle BCD\)，\(E\)為四邊形\(ABCD\)中兩條對角線的交點。若\(\overline{CD}=\overline{AE}\)，\(\overline{BC}=\overline{DE}\)，則\(\angle ABC-\angle BAD=\)？
(A)\(48^\circ\) (B)\(54^\circ\) (C)\(64^\circ\) (D)\(72^\circ\)
13.
設\(a,b,c,d\)為四個兩兩不相等的實數，且\((a+c)(a+d)=(b+c)(b+d)=2\)，求\((a+c)(b+c)=\)？
(A)\(-4\) (B)\(-2\) (C)2 (D)4
14.
一副52張的撲克牌經任意洗牌後，牌面向下，然後一張一張翻開，當第一次出現的牌點數為5時，緊接著下一張牌仍出現點數5的機率為\(\displaystyle\frac{a}{b}\)（\(a,b\)為兩互質的正整數），求\(a+b=\)？
(A)50 (B)51 (C)52 (D)53
15.
若級數和滿足\(\displaystyle\frac{1^2}{1\times3}+\frac{2^2}{3\times5}+\frac{3^2}{5\times7}+\cdots+\frac{2026^2}{4051\times4053}=2027\times\frac{q}{p}\)，其中\(p,q\)互質，則\(p-q=\)？
(A)2026 (B)3040 (C)4053 (D)5200
16.
過點\(P(1,1)\)作直線\(x+ay+b=0\)，使得它被橢圓\(4x^2+9y^2=36\)所截出的弦，其中點恰為點\(P\)，求\(a-b=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{11}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{13}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{11}{4}\) (D)\(\displaystyle\frac{13}{4}\)
17.
設\(A,B\)為\(y=x^2\)上的兩點，若\(\overline{AB}\)的中垂線方程式為\(y=-x+2\)，則\(\overline{AB}\)的直線方程式為\(x+ay+b=0\)，求\(a+2b=\)？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
18.
把900分解成兩個正整數的乘積，若\(ab\)，\(ba\)看作同一種，問有幾種不同的分解呢？
(A)27 (B)14 (C)26 (D)9
19.
已知\(a,b,c,d\)為等比數列的連續四項，且滿足\(a>b>c>d\)。若\(a^{80}=b^m=c^n=d^{120}\)，則\(n-m=\)？
(A)12 (B)\(\displaystyle\frac{90}{7}\) (C)\(\displaystyle\frac{63}{4}\) (D)16
20.
在\(\triangle ABC\)中作\(\angle A\)的角平分線交於底邊\(\overline{BC}\)於點\(D\)，若\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=4\)，\(\angle A=60^\circ\)，求\(\overline{AD}=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{19\sqrt{3}}{6}\) (B)\(\displaystyle\frac{17\sqrt{3}}{7}\) (C)\(\displaystyle\frac{21\sqrt{3}}{8}\) (D)\(\displaystyle\frac{20\sqrt{3}}{9}\)
21.
如右圖三，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\angle BAC=2\angle BEC\)，\(\overline{BE}\)與\(\overline{AC}\)交於\(D\)。已知\(\overline{AC}=5\)，\(\overline{AD}=3\)，則\(\overline{BD}\times\overline{DE}=\)？
(A)8 (B)12 (C)15 (D)16
22.
已知菱形\(ABCD\)的邊長為10，\(M\)在\(\overline{BC}\)上，且\(\overline{BM}=4\)。今在\(\overline{BD}\)上取一點\(P\)使得\(\overline{PC}+\overline{PM}\)有最小值，則菱形\(ABCD\)面積是\(\triangle ABP\)面積的多少倍？
(A)\(\displaystyle\frac{5}{2}\) (B)5 (C)\(\displaystyle\frac{17}{3}\) (D)7
23.
實數\(x,y,z\)滿足\(x+y+z=5\)，\(xy+yz+zx=3\)，當\(x=a\)，\(y=b\)時，\(z\)有最大值為\(c\)，求\(a+2b+3c=\)？
(A)12 (B)14 (C)16 (D)18
24.
設\(\displaystyle y=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}+x\right)-\sin3x\)的最小值為\(k\)，求\(k^2=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{22}{9}\) (B)\(\displaystyle\frac{25}{9}\) (C)\(\displaystyle\frac{64}{27}\) (D)\(\displaystyle\frac{68}{27}\)
25.
圖四，曲線為二次函數\(y=-3(x-a)^2+b\)示意圖，其中\(C\)為頂點且\(\overline{AB}\)平行於\(x\)軸，已知\(\overline{AB}=4\)，則\(\triangle ABC\)之面積為
(A)6 (B)12 (C)18 (D)24
26.
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=c\)，\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{CA}=b\)，且\(c>b\)，給定下列4組選項中的數，哪一組數無法對應唯一的三角形？
(A)\(a,b,\sin C\) (B)\(a,c,\sin A\) (C)\(a,b,\cos C\) (D)\(b,c,\cos A\)
27.
圖五中，\((a,0)\)為\(x\)軸上一點，兩曲線分別為\(y=\log_bx\)和\(y=\log_cx\)，此圖乃根據實際比例繪製，試比較\(a,b,c\)三實數的大小
(A)\(a>b>c\) (B)\(a<b<c\) (C)\(a<c<b\) (D)\(c<a<b\)
28.
圖六中\(\triangle ABC\)為一直角三角形，其中\(\angle ACB=90^\circ\)，\(B(b,a)\)，\(C(b,0)\)，以\(A\)為中心將\(\triangle ABC\)逆時針轉\(\theta\)角後點\(B\)的位置來到\(B'\)，則\(B'\)的\(y\)坐標為
(A)\(a\sin\theta+b\cos\theta\) (B)\(a\sin\theta-b\cos\theta\) (C)\(a\cos\theta-b\sin\theta\) (D)\(a\cos\theta+b\sin\theta\)
29.
設實數對\((a,b)\)使得方程式\(2x^2+(a+3)x+b-3=0\)與\(x^2+ax+b=0\)各有兩整數根，求這樣的\((a,b)\)共有多少個？
(A)0 (B)2 (C)6 (D)無限多個
30.
已知\(\triangle ABC\)的三邊長均為整數，\(M\)為\(\overline{AB}\)的中點。令\(p=\overline{AC}+\overline{AM}\)，\(q=\overline{BC}+\overline{BM}\)，若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，且\(p:q=5:2\)，則當\(\triangle ABC\)的面積有最小值時，\(\triangle ABC\)的內切圓半徑為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{\sqrt{399}}{42}\) (C)\(\displaystyle\frac{\sqrt{399}}{40}\) (D)\(\displaystyle\frac{\sqrt{343}}{21}\)
31.
數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\)（\(n\)為大於2的正整數），求\([a_{30}+0.6]\)之值為多少？（符號\([x]\)為不大於\(x\)的最大整數）
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
32.
若實矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}\)，\(B^2-AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(a+d=\)
(A)0 (B)4 (C)8 (D)\(-4\)
33.
如圖七，\(\vec{u}=(u_1,u_2)\)，\(\vec{v}=(v_1,v_2)\)，\(\vec{w}=(w_1,w_2)\)，則下列何者正確？
(A)\(\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}>0\) (B)\(\begin{vmatrix}u_1&w_1\\u_2&w_2\end{vmatrix}<0\) (C)\(\displaystyle\frac{\begin{vmatrix}w_1&v_1\\w_2&v_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}}>0\) (D)\(\displaystyle\frac{\begin{vmatrix}u_1&w_1\\u_2&w_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{vmatrix}}<0\)
34.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\left[\frac{n}{5}\right]}{n}=\)
(A)\(\displaystyle\frac{1}{5}\) (B)1 (C)0 (D)不存在
35.
平面上，曲線\(x^2+xy+y^2=7\)，在\((2,1)\)的切線為
(A)\(x-2y=0\) (B)\(x+2y-4=0\) (C)\(5x+4y-14=0\) (D)\(2x-y-3=0\)
36.
如圖八，\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\overline{AB}\)的中垂線分別交\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)於\(D\)、\(E\)兩點，\(\overline{AC}=8\)，試問\(\vec{ED}\cdot\vec{AC}\)之值為何？
(A)\(-8\sqrt{2}\) (B)\(-16\) (C)\(-32\) (D)16
37.
若\(v=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\)是\(A=\begin{pmatrix}2&a&2\\5&b&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}\)的特徵向量，求\(a+b=\)
(A)0 (B)7 (C)5 (D)\(-4\)
38.
已知直角坐標平面上兩點\(A(\cos20^\circ,\sin20^\circ)\)與\(B(\sin50^\circ,\cos50^\circ)\)，求直線\(AB\)的斜率
(A)\(\sqrt{3}\) (B)\(-\sqrt{3}\) (C)\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) (D)\(\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}\)
39.
已知三角形\(ABC\)三邊長分別為\(a^2-1\)，\(2a+1\)，\(a^2+a+1\)，而此三角形最大角的度數為\(A\)，求\(\cos^2A+\csc^2A=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{13}{12}\) (B)\(\displaystyle\frac{15}{12}\) (C)\(\displaystyle\frac{17}{12}\) (D)\(\displaystyle\frac{19}{12}\)
40.
試求微分方程式\(xy'+2y=4x^2\)，\(y(1)=4\)，\(x\in(0,\infty)\)的解。
(A)\(3x^2+x^{-1}\) (B)\(3x+x^{-2}\) (C)\(3x^2+x^{-2}\) (D)\(x^2+3x^{-2}\)
41.
若\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k+n}\)，求極限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)等於
(A)\(\displaystyle\frac{2}{3}\) (B)\(e^3\) (C)\(\ln3\) (D)\(\ln2\)
原題目\(\displaystyle\lim_{x\to 0}a_n\)應為\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\)
42.
若\(\theta\)為任意實數，函數\(f(\theta)=8\sin^3\theta-6\sin\theta+2\)，求\(f(\theta)\)的最大值。
(A)8 (B)4 (C)0 (D)\(-1\)
43.
求積分\(\displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x+1)^2}\,dx\)等於
(A)0 (B)1 (C)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (D)2
44.
求積分\(\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\sin2\theta\,d\theta\)等於
(A)1 (B)\(-2\) (C)2 (D)0
45.
求瑕積分\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^4}\,dx\)等於
(A)0 (B)5 (C)\(-5\) (D)20
46.
一電腦螢幕如圖九之長方形\(ABCD\)，長\(\overline{AB}=16\)，寬\(\overline{AD}=9\)，它的螢幕保護程式圖形是一個直線行進的亮點，碰到螢幕邊緣後就反射往另一方向繼續直線前進，在螢幕中反覆不斷地遊走。設亮點一開始的位置在\(E\)點，\(\overline{AE}=2\)且與邊緣夾角為\(\theta\)並往右下前進，它的行進路線如圖中箭頭所示，反射4次後打到\(\overline{CD}\)邊上的\(F\)點，則\(\overline{CF}\)的長度為
(A)\(22\sin\theta-9\) (B)\(14-7\sec\theta\) (C)\(29\tan\theta-16\) (D)\(\displaystyle\frac{16}{\tan\beta}-20\)
47.
本學期期末數學月考中，甲班50人的平均分數為65分，標準差為4分；乙班50人的平均分數亦為65分，標準差為3分。若將這兩組考生成績標準化後合併為一個100人的大組，試問合併後的標準差
(A)12.5 (B)3.5 (C)\(\sqrt{12.5}\) (D)1
48.
設\(f(x)\)是一個三次實係數多項式，且滿足恆等式\(f(x)+f(2026-x)=115\)對任意實數\(x\)皆成立。則\(\displaystyle f\!\left(\frac{x}{2}\right)\)圖形的對稱中心為
(A)\(\displaystyle\left(\frac{1013}{2},\frac{115}{2}\right)\) (B)\(\displaystyle\left(1013,\frac{115}{2}\right)\) (C)\(\displaystyle\left(2026,\frac{115}{2}\right)\) (D)\(\displaystyle\left(4056,\frac{115}{2}\right)\)
49.
設\(\triangle ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)。若\(\triangle ABC\)面積為\(\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\)，求\(\tan C=\)
(A)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (B)1 (C)2 (D)不存在
50.
考慮複數平面，\(i\)是虛數，對於任意複數\(z\)，定義\(\displaystyle\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)，下面那個不是\(\cos z=2\)的解呢？
(A)\(2\pi+i\ln(2+\sqrt{3})\) (B)\(i\ln(2+\sqrt{3})\) (C)\(i\ln(2-\sqrt{3})\) (D)\(\pi+i\ln(2-\sqrt{3})\)
