整數論，證 :1+1/2+1/3+1/4+......+1/n不是正整數
題目:n>1,n為正整數 試證 :1+1/2+1/3+1/4+......+1/n不是正整數
證明的概念是
若S為整數,則任一整數A, A*S的乘積必為整數
若S不為整數,則存在某些整數B, 使得B*S的乘積不是整數
解法如下(找到我們要的數字B)
令S=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n
因 n>1 分兩種情形來看
甲. n=2^m (恰為2 的m次方)
令T=1*3*5*7*...*(2t+1) 為所有比 n 小的奇數乘積
B=T * 2^(m-1)---------------------------------這就是所要找的數字 B
S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n
..=1+1/2+1/3+1/4+...+1/2^m
B*S
=B*(1+1/2+1/3+1/4+......+1/(n-1)) +B*1/2^m
= 整數 + T/2
故S不為整數
乙.
2^m< n <2^(m+1) --------------------------------(*)
令
T=1*3*5*7*...*(2t+1) 為所有比 n 小的奇數乘積
B=T * 2^(m-1)---------------------------------這就是所要找的數字 B
S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/2^m+...+1/n
B*S
=B*(1+1/2+1/3+1/4+...+1/2^m+...+1/n)
=B*(1+1/2+1/3+1/4+......+1/n) +B*/2^m
=整數 + T/2
