115新北市國中聯招
1.
若\(A(1,4)\)、\(B(6,2)\)所連接的線段\(\overline{AB}\)與直線\(L\)：\(x-y+1=0\)相交於\(P\)點，則\(\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{BP}}=\)?
(A)\(\displaystyle\frac{2}{5}\) (B)\(\displaystyle\frac{3}{7}\) (C)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (D)\(\displaystyle\frac{3}{5}\)
2.
若二次函數\(y=ax^2+bx+c\)圖形如下圖，則點\((abc,b^2-4ac)\)在第幾象限？
(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限
3.
若有一數列的第\(n\)項可用\((n+\sqrt{n})^2\)表示，則此數列有多少項會介於1~1600之間？
(A)\(34\) (B)\(35\) (C)\(39\) (D)\(40\)
4.
\(a\)、\(b\)均為有理數，\(|a|=a+3\)，\(|a+3|\times b=a-3\)，則\(|a-b|-|a+b|=\)?
(A)\(-4\) (B)\(-3\) (C)\(3\) (D)\(4\)
5.
現有長度為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)、\(\displaystyle\frac{1}{3}\)、\(\displaystyle\frac{1}{4}\)、\(\displaystyle\frac{1}{5}\)、\(\displaystyle\frac{1}{6}\)的線段各一條，試問從中取出三條線段，使其成為三角形之三邊長的取法有多少種？
(A)\(4\) (B)\(5\) (C)\(6\) (D)\(7\)
6.
有一直圓柱狀的木棍，今將此木棍分成甲、乙兩段直圓柱狀木棍，且甲的高為乙的高的9倍。若甲、乙的表面積分別為\(S_1\)、\(S_2\)，甲、乙的體積分別為\(V_1\)、\(V_2\)，則下列關係何者正確？
(A)\(V_1>9V_2\) (B)\(V_1<9V_2\) (C)\(S_1>9S_2\) (D)\(S_1<9S_2\)
7.
算式\(2^2\times3^3\times7^2\times11-42\times11\)之值有多少個相異的質因數？
(A)\(3\) (B)\(4\) (C)\(5\) (D)\(6\)
8.
有一小數\(0.01001000100001\ldots\ldots\)，其小數點後每個位數只出現\(0\)或\(1\)，且小數點後出現第\(n\)個\(1\)及其下一個出現\(1\)的位數間有\((n+1)\)個\(0\)。求該數小數點後第\(208\)位至第\(210\)位之數字依序為何？
(A)0，0，0 (B)1，0，0 (C)0，1，0 (D)0，0，1
9.
小紀打算到遊樂園完整體驗「海盜船」、「雲霄飛車」、「摩天輪」、「碰碰車」、「小火車」與「旋轉木馬」這六樣設施，每玩完一樣設施就接著玩下一樣，且不重複搭乘。由於小安覺得「海盜船」與「雲霄飛車」較為刺激，因此這兩樣設施不會連續搭乘，且所有設施不重複搭乘。試問小安的遊玩行程有幾種安排方式？
(A)240 (B)480 (C)560 (D)720
10.
如下圖，四邊形\(ABCD\)為平行四邊形，\(E\)為\(\overline{BC}\)上一點，且\(AEFG\)為長方形，\(D\)在\(\overline{FG}\)上。若\(\overline{AB}=10\)，\(\overline{BC}=18\)，\(\angle B=30^\circ\)，\(\overline{DG}:\overline{DF}=4:1\)，求\(\triangle ADG\)的面積為何？
(A)36 (B)\(20\sqrt{3}\) (C)\(25\sqrt{3}\) (D)\(45\)
11.
如下圖，四邊形\(ABCD\)中，\(E\)點在\(\overline{BC}\)上，\(\angle AEB=\angle C\)，\(\angle BAE=\angle DBE\)，\(\overline{BE}=\overline{CD}\)。若\(\angle DAE=33^\circ\)，\(\angle ADB-\angle C=9^\circ\)，則\(\angle ABE\)的度數為何？
(A)\(66\) (B)\(72\) (C)\(75\) (D)\(81\)
12.
若\(n\)為整數，且\(\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{3}{n}+\displaystyle\frac{5}{n}+\dots+\displaystyle\frac{27}{n}\)亦為整數，則\(n\)的可能值有幾個？
(A)\(9\) (B)\(10\) (C)\(18\) (D)\(20\)
13.
將自然數220的所有正因數（220除外）相加，即\(1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\)；將自然數284的所有正因數（284除外）相加，即\(1+2+4+71+142=220\)。我們稱220與284為「親和數」。請問自然數1184與下列何者也是「親和數」？
(A)\(1210\) (B)\(1120\) (C)\(1102\) (D)\(1012\)
14.
若一元一次方程式\(2k^2x+k^2=(1-k)x+1\)無解，則\(4k^3+k+1=\)?
(A)\(-4\) (B)\(1\) (C)\(2\) (D)\(6\)
15.
\(f(\displaystyle\frac{2+x}{2-x})=5x\)，\(g(\displaystyle\frac{2-x}{2+x})=x\)，則\(f(g(-\displaystyle\frac{1}{3}))+g(-\displaystyle\frac{1}{3})\)之值為何？
(A)\(10\) (B)\(5\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(3\)
16.
如下圖，\(P\)為平行四邊形\(ABCD\)內部一點，\(E\)點在\(\overline{AD}\)上，連接\(\overline{AP}\)、\(\overline{BP}\)、\(\overline{CP}\)、\(\overline{DP}\)、\(\overline{BE}\)、\(\overline{CE}\)，此六個線段將四邊形\(ABCD\)分割成八個區域。圖中每個區域內的整數代表該區域的面積，求圖中甲區域的面積為多少？
(A)\(10\) (B)\(9\) (C)\(8\) (D)\(6\)
17.
已知平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)是\(\overline{BC}\)中點，\(\overline{AE}=\overline{BD}=18\)，求平行四邊形\(ABCD\)面積為何？
(A)\(180\) (B)\(108\sqrt{3}\) (C)\(108\) (D)\(90\sqrt{3}\)
18.
已知一個多項式除以\((x-1)\)餘2，且除以\((x-2)\)餘1，試問該多項式有可能是下列何者？
(A)\(2026(x-1)(x-2)-2(x-2)+1\)
(B)\(2026(x-1)(x-2)-3(x-1)+2\)
(C)\(2026(x-1)(x-2)+(x-1)+2\)
(D)\(2026(x-1)(x-2)-(x-2)+1\)
19.
如圖所示，兩塊大小相同的正六邊形餅乾相黏，有一隻螞蟻在上面爬行，若此正六邊形的邊長為1，則螞蟻從\(C\)點出發到\(H\)點的最短距離為何？
(A)\(\sqrt{7}\) (B)\(\sqrt{13}\) (C)\(\sqrt{10-3\sqrt{3}}\) (D)\(\sqrt{10+3\sqrt{3}}\)
20.
已知實數\(x,y\)滿足二元一次聯立不等式\(\begin{cases}x+y\le2\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}\)，若\(a=x-y\)，則\(a\)的範圍為何？
(A)\(a\ge2\) (B)\(a\le-2\) (C)\(a\le2\) (D)\(-2\le a\le2\)
21.
試問方程式\(2^{3x+1}-17\cdot2^{2x}+2^{x+3}=0\)所有實數解之乘積為下列何者？
(A)\(-3\) (B)\(-2\) (C)\(-1\) (D)\(2\)
22.
已知實數\(a,b\)滿足條件\(\displaystyle \frac{a+6}{b}+\frac{13}{ab}=\frac{4-b}{a}\)，則\(b-a\)之值為下列何者？
(A)\(-5\) (B)\(-3\) (C)\(3\) (D)\(5\)
23.
已知實數\(a,b,c\)滿足條件\(\displaystyle\frac{a+b}{c}=\displaystyle\frac{b+c}{a}=\displaystyle\frac{c+a}{b}=r\)，則滿足這樣條件的所有可能\(r\)值共有多少個？
(A)\(1\) (B)\(2\) (C)\(3\) (D)\(4\)
24.
計算\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)之值為下列何者？
(A)\(9\) (B)\(\sqrt{101}-1\) (C)\(2\sqrt{\displaystyle\frac{101}{2}}\) (D)\(10\)
25.
如果\(0^\circ<\theta<45^\circ\)，則下列何者成立？
(A)\(\cot\theta<\sin\theta<\cos\theta\)
(B)\(\cos\theta<\cot\theta<\sin\theta\)
(C)\(\sin\theta<\cos\theta<\cot\theta\)
(D)\(\cos\theta<\sin\theta<\cot\theta\)
26.
已知正數\(a,b\)滿足條件\(\log_9a=\log_{12}b=\log_{16}(a+b)\)，則\(\displaystyle\frac{b}{a}\)之值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) (B)\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (D)\(\displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
27.
設\(a\)為正整數，如果三個數\(10,24\)及\(a\)可構成一個銳角三角形的三邊長，則滿足這樣條件的\(a\)值共有多少個？
(A)\(4\) (B)\(6\) (C)\(8\) (D)\(10\)
28.
設\(\alpha,\beta,p,q,r,s\)為實數，如果\(\tan\alpha\)和\(\tan\beta\)為方程式\(x^2-px+q=0\)的二根，且\(\cot\alpha\)和\(\cot\beta\)為方程式\(x^2-rx+s=0\)的二根，則\(rs\)等於下列何者？
(A)\(pq\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{pq}\) (C)\(\displaystyle\frac{p}{q^2}\) (D)\(\displaystyle\frac{q}{p^2}\)
29.
已知實數\(a,b\)滿足條件\(a^3=3ab^2+11\)與\(b^3=3a^2b+2\)，則\(a^2+b^2\)之值為下列何者？
(A)\(4\) (B)\(5\) (C)\(6\) (D)\(7\)
30.
已知長方形\(ABCD\)中，點\(E\)為邊\(\overline{CD}\)之中點，點\(F\)為邊\(\overline{BC}\)之中點，如果\(\angle AFE=90^\circ\)，且\(\overline{AB}<\overline{BC}\)，如圖所示，則\(\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\)之比值為下列何者？
(A)\(\sqrt{2}\) (B)\(\sqrt{3}\) (C)\(\displaystyle\frac{4}{3}\) (D)\(\displaystyle\frac{3}{2}\)
31.
試問下列哪個選項是正確的？
(A)\(2^{2026}-1\)乘開後其個位數字為1。
(B)\(17^{110}+3\)乘開後其個位數字是6。
(C)\(\log_{2026}(\displaystyle\frac{1}{2})\cdot\log_{2025}(\displaystyle\frac{1}{3})\cdot\log_{2024}(\displaystyle\frac{1}{4})\dots\log_3(\displaystyle\frac{1}{2025})\cdot\log_2(\displaystyle\frac{1}{2026})=1\)。
(D)同時投擲二個公正的骰子一次，其出現點數和為\(7\)的機率為\(\displaystyle\frac{1}{6}\)。
32.
已知實數\(a,b\)滿足條件\(3a^2+2a-4=0\)，及\(b^4-b^2-3=0\)，則\(\displaystyle\frac{a^2b^4+4}{a^2}\)之值為下列何者？
(A)\(-7\) (B)\(-5\) (C)\(5\) (D)\(7\)
33.
計算\(\displaystyle \frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)}\)之值為下列何者？
(A)\(138\) (B)\(241\) (C)\(305\) (D)\(373\)
34.
等腰直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，已知\(\overline{AC}=1\)，點\(D\)為\(\overline{BC}\)邊之中點，連\(\overline{AD}\)，過\(D\)點，作\(\overline{DE}\perp\overline{AD}\)，交斜邊\(\overline{AB}\)於\(E\)點，則\(\triangle BDE\)的面積為下列何者？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{24}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{18}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{16}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{12}\)
35.
已知\(a,b,c\)皆為整數，如果\(ab+5=c,bc+1=a,ca+1=b\)成立，則滿足這樣條件的\((a,b,c)\)共有幾組解？
(A)\(1\) (B)\(2\) (C)\(3\) (D)\(4\)
36.
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，且\(\angle A=108^\circ\)，則\(\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\)之比值為何？
(A)\(\displaystyle\frac{4}{3}\) (B)\(\displaystyle\frac{3}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{2}\) (D)\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
37.
已知一袋子裡有11顆球，分別編上號碼\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(\ldots\)、\(10\)、\(11\)，今同時隨機取出6顆球，每顆被取出的機會相等，若取出的6顆球之號碼和為奇數，則其機率為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{115}{231}\) (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)\(\displaystyle\frac{118}{231}\) (D)\(\displaystyle\frac{6}{11}\)
38.
直角\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(P\)為\(\triangle ABC\)內部一點，使得\(\angle APB=\angle APC=\angle CPB\)，且\(\overline{PA}=8\)，\(\overline{PC}=6\)，如圖所示，則\(\overline{PB}\)=?
(A)\(16\) (B)\(32\) (C)\(48\) (D)\(60\)
39.
有一數列\(\{a_n\}\)，如果\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，其中對所有正整數\(n\ge1\)均成立，則\(a_{100}\)之值為下列何者？
(A)\(9900\) (B)\(9902\) (C)\(9904\) (D)\(10102\)
40.
設\(A=69^5+5\times69^4+10\times69^3+10\times69^2+5\times69+1\)，則\(A\)之正整數因數共有多少個？
(A)\(5\) (B)\(69\) (C)\(125\) (D)\(216\)
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