1.
將數字1、2、3、\(\ldots\)、9等9個數字排成九位數(數字不得重複)，使得前5位從左至右遞增、且後5位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？
2.
若\(f(x)=10(x-1)^2+9(x-2)^2+8(x-3)^2+\dots+1(x-10)^2\)在\(x=x_1\)時有最小值\(y_1\)，且\(g(x)=10|x-1|^2+9|x-2|^2+8|x-3|^2+\dots+|x-10|^2\)在\(x=x_2\)時有最小值\(y_2\)，試求數對\((x_1,x_2)\)。
3.
坐標平面上，向量\((a,b)\)與直線\(y=bx-1\)垂直，則\(a-b\)的最大可能值為？此時\(a,b\)分別為多少？
4.
若實係數多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)=x^4-4x^3-x^2+x+\int_{k}^{x}f(t)dt\)，試求\(\displaystyle \int_{-3}^2f(x)dx\)。
5.
設空間中兩點\(A(a,-2,1)\)、\(B(7,b,4)\)分別在平面\(E\)：\(2x+y-z=4\)上的投影點為\(P\)、\(Q\)。已知向量\(\overrightarrow{PQ}=(1,c,5)\)，試求數對\((a,b,c)\)。
6.
已知\(\log_4A=\log_6B=\log_9(A+B)\)，求\(\displaystyle\frac{A}{B}\)。
7.
電流強度\(I\)(安培)隨時間\(t\)(秒)變化的函數\(I(t)=a\sin(bt+c)\)如圖所示，其中\(a,b>0\)，\(0\le c<\pi\)，試求數對\((a,b,c)\)。
8.
設\(a>0\)，\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)為實係數三次多項式。直線\(L\)：\(y=2x-1\)。已知
①\(y=f(x)\)的反曲點為\(A(1,1)\)
②\(y=f(x)\)和直線\(L\)都通過\(A(1,1)\)、\(B(3,5)\)兩點
③\(y=f(x)\)和直線\(L\)所圍的區域面積為24
求數對\((a,b,c,d)\)。
9.
設二階方陣\(M=\begin{bmatrix}5&2\\3&4\end{bmatrix}\)代表座標平面上的一個線性變換。若存在一直線\(L\)通過原點，且\(L\)上所有的點經過\(M\)變換後，仍落在同一直線\(L\)上，試求出所有滿足此條件的直線\(L\)之方程式。
10.
從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數中任意取出三個相異的數，每數被取出的機率皆相等，則三數乘積是一完全平方數的機率為何？(化成最簡分數)
11.
已知四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}\)平行\(\overline{DC}\)，\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(E\)。若\(\vec{AB}=(2,-6),\vec{AD}=(1,5)\)且\(\triangle ABE\)面積為3。則四邊形\(ABCD\)面積為何？
12.
直角座標平面上，設正\(\triangle ABC\)之重心為\(O(0,0)\)，其中一個頂點為\(A(3,y)\)滿足\((3+yi)^3=-117-44i\)，\(i=\sqrt{-1}\)。若\(\triangle ABC\)的外接圓在\(B,C\)兩點的兩切線交於點\(P\)，求\(P\)點座標。
13.
已知都教授手中握著一個紅球與一個袋子，而袋中有3個紅球及2個白球，一次交換為都教授自袋中任取一球，再將原本握在手中的球放入袋中。設袋中每一球被取出的機率相等，若\(P_n\)表示交換\(n\)次後，都教授手中的球仍是紅球的機率。若實數\(r,s\)滿足\(P_n=rP_{n-1}+s\)，求數對\((r,s)\)。
14.
某洗衣機的行程必須從一、二、三、四、五共5種不同衣料擇一，搭配甲、乙、丙、丁共4種不同模式擇一，另有\(A\)、\(B\)、\(C\)共3種附加功能，每種附加功能可以自由選擇是否開啟，但是「第一種衣料」不可以與附加功能「\(A\)」同時使用。例如「第二種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「\(A\)」、「\(B\)」兩種附加功能為一個可以的行程；但「第一種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「\(A\)」、「\(B\)」兩種附加功能為一個不可以的行程。根據上述，此洗衣機共有多少個可以的行程？
15.
設\(x\)為正實數，\(f(x)=x^2+4x+6+4x^{-1}+x^{-2}\)，試求\(f(x)\)之最小值。
若\(x>0\)，則\( \displaystyle x^2+2x+\frac{10}{x}+\frac{5}{x^2} \)的最小值為
。
(2016TRML團體賽，聯結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2591&page=1#pid16166)
16.
設\(k\)為實數，試就\(k\)值討論方程式\(\log_2|3x^3-18x+4\sqrt{2}|=k\)有幾個相異實根？
17.
平面上有一箏形\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{BC}=\sqrt{2}\)，\(\overline{AD}=\overline{CD}=2\)，\(\angle BAD=135^\circ\)，求\(\overline{AC}\)線段長。(化為最簡根式)
18.
若直線\(y=3x+k\)和\(\Gamma\)：\(x=\sqrt{4-y^2}\)交於相異兩點，試求\(k\)之範圍。
19.
求對數方程式\(\log_2x+\log_8x=2(\log_2x)(\log_8x)\)所有實數解的和為多少？
求對數方程式\(log_2x+log_8x=2(log_2x)(log_8x)\)所有實數解的和為
(1)1 (2)2 (3)3 (4) (5)5
(100台中一中段考，
https://math.pro/db/thread-1523-1-1.html)
20.
抽屜中有3枚外觀相同的硬幣，\(A\)為「雙反面硬幣」，\(B\)為「正常硬幣」，\(C\)為「不均勻硬幣」（其出現正面機率為\(p\)，\(0\le p\le1\)）。某人隨機盲抽一枚，連擲兩次，觀察到「一正一反」的結果。令在此條件下，抽中\(B\)硬幣的機率為\(P(B|\text{一正一反})\)。
(1)試證明：無論\(p\)之值為何，\(\displaystyle P(B|\text{一正一反})\ge\frac{1}{2}\)恆成立。
(2)若已知\(\displaystyle P(B|\text{一正一反})=\frac{1}{2}\)，求\(p\)之值。
