一、填充題
1.
已知實數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足：\(x^2+y^2+z^2=14+6\sqrt{3}\)且\(x+y+z=2+\sqrt{3}\)，試求\((x+y)(y+z)(z+x)+xyz\)之值為
。
2.
設\(f(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+1\)，\(g(x)=x^3+2x^2-3x-1\)。若\(\alpha,\beta,\gamma\)為\(g(x)=0\)之3根，試求：\(\displaystyle\frac{1}{f(\alpha)}+\frac{1}{f(\beta)}+\frac{1}{f(\gamma)}\)之值為
。
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(98中崙高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652)
3.
\(xy\)平面上滿足不等式：\(|x^2+y^2-2x+4y-18|\le2x-2y+18\)之所有點所成的集合為\(S\)，則\(S\)的面積為
。
4.
設\(a>1\)，\(b>1\)，且滿足\(\cases{\displaystyle\log_{10}ab=\frac{4}{\log_a10+\log_b10}\cr (log_{10}a)^2+(log_{10}b)^2=18}\)，則\(a+b\)之值為
。
5.
如下圖，在\(\triangle ABC\)之三邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)上分別取點\(D\)、\(E\)、\(F\)，使得\(\overline{AF}=\overline{FD}=12\)，\(\overline{CF}=\overline{FE}=15\)。設\(\triangle BDE\)之外接圓圓心為\(O\)，已知\(\overline{OF}=18\)，則\(\triangle BDE\)之外接圓面積為
。
6.
設複數\(z\)滿足\(|4z-2|=1\)，在複數平面上，以\((1+i)z\)，\((4+4i)z\)，\((-3+5i)z\)為三頂點所形成的三角形，其面積的最大值為
。
7.
將相同的紅球4個，藍球4個，白球2個全部放入棋盤的12個格子中（如下圖），每格最多放一個球，已知灰色格子內沒有球的條件下，第一列沒有紅球且第二列沒有藍球且第三列沒有白球的條件機率為
。
8.
隨機變數\(X\)表示連續投擲公正銅板直到出現連續二次反面就停止的次數，若\(X\)之期望值為\(a\)、變異數為\(b\)，則數對\((a,b)\)之值為
。
https://math.pro/db/thread-2475-1-1.html
https://math.pro/db/thread-3204-1-1.html
9.
求\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(n+1)}{2^n}=\)
。
求\( \displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{3^2}{3^3}+\frac{4^2}{3^4}+\frac{5^2}{3^5}+\ldots= \)？
(103大安高工，thepiano解題，下載20140507.doc
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=10863#p10863)
10.
求定積分\(\displaystyle\int_{-3}^{3}|\sqrt{9-x^2}-(x+3)|dx\)的值為
。
二、計算題
1.
百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號1、2、\(\dots\)、8的卡牌共十張，其中編號8和編號6各有兩張相同的卡牌，其他編號的卡牌均只有一張。從這十張卡牌隨機抽出四張，且抽出後不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1)此四位數大於6400
(2)此四位數含有兩個數字8
(3)此四位數含有兩個數字6
例如：若抽出四張卡牌編號依序為5、8、2、8，則此四位數為5828，可獲得獎品。
依上述規則，共有幾個不同的四位數可獲得獎品？
2.
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)、\(\overline{BC}=5\)、\(\overline{AC}=6\)，過\(\triangle ABC\)的重心\(G\)作垂線交\(\overline{BC}\)於\(H\)，若\(\overrightarrow{AH}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\)，試求數對\((\alpha,\beta)\)。
3.
設\(\overline{AB}\)為拋物線\(x^2=8y\)的一弦，\(O\)為原點。若\(\overline{OA}\perp\overline{BO}\)，試求\(\triangle OAB\)面積的最小值為多少？
4.
設橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)，其中心為原點。點\(P\)為橢圓上的一動點。若以原點\(O\)為旋轉中心，將\(OP\)逆時針旋轉\(60^\circ\)得到\(OQ\)，當\(P\)點沿著橢圓繞行一周時，試求\(Q\)點的軌跡方程式。
5.
如圖，圓形紙片的圓心為\(O\)，半徑為10公分，該紙片上的正六邊形\(ABCDEF\)之中心為\(O\)，\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)、\(T\)、\(U\)為圓\(O\)上的點，小南沿虛線剪開後，分別以\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{CD}\)、\(\overline{DE}\)、\(\overline{EF}\)、\(\overline{FA}\)為折痕折起\(\triangle PAB\)、\(\triangle QBC\)、\(\triangle RCD\)、\(\triangle SDE\)、\(\triangle TEF\)、\(\triangle UFA\)，使得\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)、\(T\)、\(U\)重合，形成一個正六角錐。若正六邊形\(ABCDEF\)的邊長為\(x\)公分時，正六角錐的體積為\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{f(x)}\)立方公分，其中\(f(x)\)為五次實係數多項式。試回答下列問題：
(1)\(f(x)\)。
(2)求出此正六角錐體積的最大值為何？
