壹、複選題
1.
\(\triangle ABC\)中，\(\angle CAB=60^\circ\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{19}\)、\(\overline{AC}=4\)。若\(A_1,A_2,A_3,\dots,A_{n-1}\)共\((n-1)\)個點在\(\overline{AB}\)上且將\(\overline{AB}\)均分成\(n\)等份（\(n\)為大於10的正整數），令\(\angle ACA_1=\theta_1\)、\(\angle A_1CA_2=\theta_2\)、\(\angle A_2CA_3=\theta_3\)、\(\dots\)、\(\angle A_{k-1}CA_k=\theta_k\)、\(\dots\)、\(\angle A_{n-2}CA_{n-1}=\theta_{n-1}\)，下列何者正確？
(A)\(\overline{AB}=10\)
(B)\(\triangle ABC\)面積為\(10\sqrt{3}\)
(C)\(\overline{A_1C}\)、\(\overline{A_2C}\)、\(\overline{A_3C}\)、\(\dots,\overline{A_{n-1}C}\)長度形成一個遞減數列
(D)\(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\dots,\theta_{n-1}\)形成一個遞增數列
(E)當\(n=100\)，若\(\theta\)為數列\(\theta_1\)、\(\theta_2\)、\(\theta_3\)、\(\dots,\theta_{99}\)的最大值，則\(\displaystyle\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{60}\)

2.
若函數\(f(x)=|\sin x-2|+|\cos x+3|\)，試問下列何者正確？
(A)\(f(x)\)的週期為\(\pi\)
(B)\(f(\pi)>4\)
(C)\(f(x)\)圖形對稱於\(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}\)
(D)\(f(x)\)的最大值為\(5+\sqrt{2}\)
(E)\(f(x)\)圖形與\(y=3\)沒有交點

3.
某疾病的確診者痊癒後身上必有抗體，某廠商想要研發試劑，利用唾液來檢測抗體方便公衛機關確實掌握全國確診人數。廠商隨機抽選1000人做試劑測試，發現在確診的情況下，試劑顯示此人有抗體的比率為\(t\)，在無確診的狀況下，試劑顯示有抗體的比率為0.06。根據目前統計，社會上約有40%的確診人數。令試劑顯示有抗體的狀況下，此人確診的機率為\(f(t)\)，若衛生機關要求\(f(t)\ge0.9\)，試劑才能上市，請選出正確的選項：
(A)\(\displaystyle f(t)=\frac{0.4t}{0.4t+0.6\times0.94}\)
(B)當\(0<t<1\)時，\(f(t)\)為遞增函數
(C)試劑可以上市時，\(t\)最小值為0.81
(D)當\(t\)達到可上市的最小值時，此試劑的誤判率小於0.1（其中誤判率\(=P\)(確診卻顯示無抗體)\(+P\)(未確診卻顯示有抗體)）
(E)當\(t\)達到最小值時，試劑的準確率大於8倍的誤判率（其中準確率\(=P\)(確診且顯示有抗體)\(+P\)(未確診且顯示無抗體)）

4.
\(x=C_{0}^{21}(\sqrt{5}-1)^{21}+C_{1}^{21}(\sqrt{5}-1)^{20}+C_{2}^{21}(\sqrt{5}-1)^{19}+\dots+C_{20}^{21}(\sqrt{5}-1)+1\)，試問下列選項哪些正確？
參考數值：\(\log2\approx0.3010\)、\(\log3\approx0.4771\)、\(\log7\approx0.8451\)、\(\log1.1\approx0.0414\)、\(\log3.1\approx0.4914\)
(A)\(x\)是有理數
(B)若\(x=10^a\)，則\(\displaystyle a=\frac{21}{2}\)
(C)\(x>10^{10\log5}\)
(D)\(x\)的整數部分為八位數
(E)\(x\)的整數部分最高兩位數字為20

貳、填充題
1.
袋中有紅球與白球共16顆（其中紅球與白球分別都至少有2顆），從袋中抽出2球，且2球均為紅球的機率大於\(\displaystyle\frac{1}{4}\)。試問從袋中抽出3球，且3球中有紅球也有白球的機率之最大值為　　　。

2.
設矩陣\(A=\left[\matrix{\displaystyle 2&\frac{1}{2}\cr 1&\frac{5}{2}} \right]^5 \left[\matrix{1&2&3\cr 3&2&1}\right]\)，則矩陣\(A\)中所有元(素)的總和為　　　。
(我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)

3.
坐標平面上，直線\(L\)過點\((3,2)\)且分別交\(x\)軸正向、\(y\)軸正向於\(A、B\)兩點。若\(A、B\)兩點在直線\(8x+3y+12=0\)上的投影點分別為\(C、D\)，則\(\overline{CD}\)的最小值為　　　。

4.
正四面體\(O-ABC\)中，\(D\)點在\(\overline{OA}\)上且\(\overline{DA}:\overline{DO}=1:3\)，\(E\)為\(\overline{BC}\)中點，\(P\)為\(\overline{DE}\)上的一點。設\(\vec{OP}=x\vec{OD}+y\vec{OE}\)，則當\(|\vec{OP}|\)為最小值時，\(x=\)　　　。

5.
設\(x\)為實數，則函數\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-10x+26}-\sqrt{x^4-5x^2+9}\)的最大值為　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

6.
坐標空間中有兩點\(A(5,1,12)\)，\(B(4,2,3)\)，現於\(y\)軸上取一點\(P\)，使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值，則\(P\)點坐標為　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

7.
設\(f(x)=x^3-x^2+2x-3\)，\(g(x)=x^4-2x^3+3x^2-7x+7\)，已知\(f(x)=0\)的三個相異根分別為\(\alpha,\beta,\gamma\)，則\(\displaystyle\frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\)　　　。

設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(98中崙高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=807&page=1#pid1652)

8.
設\(a\)為整數，滿足\(\displaystyle\left[\frac{1}{2}a\right]+\left[\frac{2}{3}a\right]=a\)，試求\(a\)的最大值為　　　。（\([]\)為高斯符號，亦即：\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數）。

9.
坐標平面上，函數\(y=\sqrt{3-\sqrt{x}}\)、\(x\)軸、直線\(x=1\)與直線\(x=4\)所圍成的區域面積為　　　。

10.
空間中三向量\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)，\(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)，\(\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)\)，若
\(\left[\matrix{a_1&a_2&a_3\cr b_1&b_2&b_3\cr c_1&c_2&c_3}\right]\left[\matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right]=\left[\matrix{64&\alpha &24\cr \alpha&9&\beta\cr 24&\beta&36}\right]\)，且\(\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c}=48\sqrt{3})\)，則\(\alpha+\beta\)的最大值為　　　。

叁、計算證明題
1.
如圖，公園管理處在一圓形草皮上有三條直線步道\(AB\)，\(AC\)與\(BC\)方便民眾觀賞花卉，其中\(A\)，\(B\)與\(C\)三處出入口皆在圓上，已知\(A(6,7)\)，圓心\(O(2,4)\)。\(O\)點到直線\(AB\)與\(AC\)的距離皆為\(\sqrt{5}\)，並在三步道\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{BC}\)的中點處\(P\)，\(Q\)，\(R\)設立路燈。試問：
(1)直線\(AB\)的斜率為多少；
(2)\(\overline{AO}:\overline{OR}\)的比值為多少；
(3)若甲在\(C\)點，乙在\(B\)點兩人同時出發，其中甲沿著步道\(AC\)向\(A\)前進，乙沿著步道\(BC\)向\(C\)前進。若甲的速度是乙的\(\sqrt{5}\)倍，試問甲乙兩人的最短距離為何？

2.
(1).證明正弦定理：\(\triangle ABC\)中\(\angle A\)的對邊長為\(a\)、\(\angle B\)的對邊長為\(b\)、\(\angle C\)的對邊長為\(c\)，則\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)。
(2).承(1).符號，證明餘弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)。
(3).證明和差化積公式：\(\displaystyle\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\)。

3.
請用兩種不同方法計算115年學測第17題「直角\(\triangle ABC\)中，\(\angle CAB\)為直角，\(\overline{AB}\)邊上一點\(D\)，滿足\(\angle BCD=2\angle ACD\)，且\(\overline{BC}=2\overline{BD}\)。若\(\vec{AD}=k\vec{AB}\)，則\(k\)的值為？(化為最簡分數)」請以寫給學生看的詳解方式書寫，每個完全正確的方法及過程最高得5分，合計最高10分。