一、單選題
1.（ ）某水上樂園想用三條拋物線的部分圖形繪製如右的噴水軌跡，假設水流皆從原點的同一固定仰角噴出，函數為 \(y=a_ix^2+b_ix\)，\(x\ge0\)，\(i=1,2,3\)，\(M=\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{bmatrix}\)是方程式係數排列而成的矩陣，則 \(M\) 為下列何者時，函數圖形與噴水軌跡最接近？
(A)\(\begin{bmatrix}-1.9&0.8\\-2&0.8\\-2.1&0.8\end{bmatrix}\) (B)\(\begin{bmatrix}-0.9&1.1\\-1&1.1\\-1.1&1.1\end{bmatrix}\) (C)\(\begin{bmatrix}-1&-0.9\\-2&-0.9\\-3&-0.9\end{bmatrix}\) (D)\(\begin{bmatrix}-0.2&1\\-0.3&1\\-0.4&1\end{bmatrix}\)
2.（ ）人們描述聲音的大小通常使用分貝，其計算式為：\(dB(I)=10\times\log\displaystyle\frac{I}{I_0}\)
其中 \(dB(I)\) 代表聲強 \(I\)（瓦特/平方公尺）對應的分貝數。\(I_0=10^{-12}\)（瓦特/平方公尺）是 0 分貝的聲強。由對數的性質可知，聲強乘上某個正數，分貝就加上固定的值。如下表顯示聲強乘上 10，分貝就增加 10。
| \(I\) | \(10^{-12}\) | \(10^{-11}\) | \(10^{-10}\) | \(10^{-9}\) | \(10^{-8}\) |
| \(dB(I)\) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
伊森觀察到人類耳朵對聲音大小的變化是依「比例」感知的。他定義了一種新單位「伊分貝」，規定：當聲強為 \(10^{-12}\)（瓦特/平方公尺）時定義為 0「伊分貝」。再實測聲強最少要相差 1.2 倍，自己才能分辨聲音有大小差異，於是定義當聲強變為原來的 1.2 倍時，「伊分貝」數值恰好增加 1。推得計算式：伊分貝\((I)=k\times\log\displaystyle\frac{I}{I_0}\)
請問式中的參數 \(k\) 最接近下列何者？（\(\log2\approx0.3010\)，\(\log3\approx0.4771\)）
(A)1.2 (B)9.8 (C)10 (D)12.6
二、填充題
1.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2026}{n}\left[\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2}+\frac{1}{\left(2+\frac{2}{n}\right)^2}+\cdots+\frac{1}{\left(2+\frac{n-1}{n}\right)^2}\right]=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2026}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\left(2+\frac{k}{n}\right)^2}\right)=\)
。
2.
某學生蒐集到汽水飲用杯數 \(x\) 與滿意度 \(y\) 的資料如下：（杯數 \(x\) 可以是任意正實數）
| 飲用杯數\(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 滿意度\(y\) | 0 | 2 | 3 | 0 |
真實狀況中喝太多汽水滿意度會下降，使用簡單線性模型不合適。若以二次函數 \(y=ax^2+bx\) 來建模，並用最小平方法來估計參數\(a\)與\(b\)，則在此模型下，飲用
杯汽水會有最高的滿意度。
3.
某次定期考因學生平均分數偏低，老師考慮採用下列兩種調分公式：
公式\(A\)：\(y=0.6x+40\)
公式\(B\)：\(y=10\sqrt{x}\)
（其中 \(x\) 為原始分數，\(0\le x\le100\)，\(x\) 為整數，\(y\) 為調分後的分數）
試求：除了滿分以外，所有使得「公式 A 調分後結果不低於公式 B」的原始分數 \(x\) 之集合。答：
。
4.
已知三角形 \(ABC\) 為正三角形，\(DEFGHIJK\) 為正八邊形如右圖（僅供參考），且 \(E\) 為 \(\overline{BC}\) 上一點，\(\overline{CE}=2\)，\(A,C,D\) 三點共線，\(A,B,F,G\) 四點共線（點 \(C\) 介於 \(A,D\) 之間，點 \(B,F\) 在 \(\overline{AG}\) 上），則 \(\overline{AF}=\)
。
(108麗山高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=2#pid19583)
5.
為了解遠處一個鏡面的傾斜程度，對鏡面發射沿著直線 \(\displaystyle\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}\) 前進的雷射光，並測得反射之雷射光沿著直線 \(\displaystyle\frac{x-2}{2}=\frac{y-5}{3}=\frac{z-16}{6}\) 前進而推算出鏡面的一個法向量 \((20,m,n)\)，則數對 \((m,n)=\)
。
6.
有一部汽車正從地下停車場的斜坡 \(\overrightarrow{PB'}\) 開上地平面 \(\overrightarrow{PA'}\)（如下圖所示），若車輪始終保持圓形，\(A\) 點與 \(B\) 點為其圓心，且半徑 \(\overline{AA'}=\overline{BB'}=1\)，\(\overline{AB}=8\)，\(\angle AA'P=\angle BB'P=90^\circ\)，\(\cos\displaystyle\frac{\angle A'PB'}{2}=\frac{1}{11}\)，令直線 \(\overleftrightarrow{AB}\) 為 \(x\) 軸，點 \(A(-4,0)\)，\(B(4,0)\)，已知當 \(\overline{PA'}=\overline{PB'}\) 時，汽車底盤 \(\overline{AB}\) 距離坡頂 \(P\) 點最近，最容易發生底盤擦撞。請計算當 \(\overline{PA'}=\overline{PB'}\) 此特定瞬間時，\(P\) 點到 \(\overline{AB}\) 的最短距離 \(d\) 為
。
7.
在等腰三角形 \(ABC\) 中，頂角為 \(\theta\)。若其外接圓半徑 \(R\) 與內切圓半徑 \(r\) 滿足 \(\displaystyle\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}\)，且此三角形不為直角三角形，則 \(\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}=\)
。
8.
某高鐵列車共有 12 節車廂，隨機選取其中 3 節設置廁所，在已知這 3 節車廂互不相鄰的條件下，令第 1 節車廂有廁所的機率為 \(P_1\)，第 6 節車廂有廁所的機率為 \(P_6\)，則數對 \((P_1,P_6)=\)
。
9.
劍橋大學數學家Tadashi Tokieda提到一個違反直覺的現象：如果\(A\)、\(B\)兩人不斷擲硬幣，\(A\)要擲到「正反」（順次序）才停止，而\(B\)要擲到「正正」才停止，那麼平均而言，\(A\)只需要擲 4 次，但\(B\)需要擲 6 次——即使「正反」和「正正」出現的機率一樣。請問若要擲到「正正反」才停止，則平均而言要擲
次。
10.
將「\(aabbbc defg\)」共10個字母排成一列（相同字母視為相同物）。若規定任一個\(a\)與任一個\(b\)皆不得相鄰（相同字母相鄰則不受此限），則共有
種排列方式。
11.
設 \(a,b,c,d\) 為實數，且滿足方程組\(\begin{cases}a+b=-1\\ab+bc+ca=-3\\abc+bcd+cda+dab=-5\\abcd=12\end{cases}\)則 \(c+d=\)
。
12.
已知 \(n\) 是比 35 小且與 35 互質的正整數，若 \(n^{19}-2\) 為 35 的倍數，則 \(n\) 的值為
。
三、計算題
1.
有 115 個保險箱和 115 把鑰匙。每把鑰匙恰好能打開一個保險箱，每個保險箱裡也只有一把鑰匙。現在主人隨機地在每個保險箱裡面放一把鑰匙，把其中的 24 個保險箱鎖上，而保留 91 個保險箱開著（這個動作是隨機的）。請求出這 91 個打開的保險箱裡的鑰匙，能打開其餘 24 個保險箱的機率是多少？
附註：保險箱一旦被打開，鎖在裡面的鑰匙就可用來試著打開其他的保險箱。
2.
某學生解一個遞迴數列問題的題目與解法如下：
題目：已知數列 \(\langle a_n\rangle\) 滿足 \(a_1=2\)，\(a_{n+1}=4a_n-3n+1\)，\(n\in\mathbb{N}\)，求一般項 \(a_n\)。
學生的解法：
\(\bbox[border:1px solid black]{\matrix{設a_{n+1}+k=4(a_n+k)，\cr
展開可得a_{n+1}+k=4a_n+4k，因此k=-n+\displaystyle\frac{1}{3}，\cr
由於\langle a_n+k\rangle形成公比為 4 的等比數列，因此a_n+k=(a_1+k)\cdot4^{n-1}，\cr
將k=-n+\displaystyle\frac{1}{3}代入可得a_n-n+\displaystyle\frac{1}{3}=\left(a_1-n+\frac{1}{3}\right)4^{n-1}，\cr\
故a_n=\left(\displaystyle\frac{7}{3}-n\right)4^{n-1}+n-\frac{1}{3}。}}\)
請問學生的解法哪裡有問題？並寫下您會跟學生如何討論以及解惑？
3.
某學生寫了求極限值 \(\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+1)^{102}-1}{x+2}\) 的過程如下：
\[\begin{aligned}
\lim_{x\to-2}\frac{(x+1)^{102}-1}{x+2}
&=\lim_{x\to-2}\frac{(x+1)^{100}(x+1)^2-1}{x+2}\\
&=\lim_{x\to-2}\frac{(x+1)^{100}(x+1)^2-(x+1)^{100}}{x+2}\\
&=\lim_{x\to-2}\frac{(x+1)^{100}\left[(x+1)^2-1\right]}{x+2}\\
&=\lim_{x\to-2}\frac{(x+1)^{100}\left[(x+2)x\right]}{x+2}\\
&=\lim_{x\to-2}(x+1)^{100}\cdot x=-2
\end{aligned}\]
但是發現答案不對，也不知道錯在哪裡。
請用高中範圍內的方法算出正確的極限值，並寫下您會跟學生如何討論以及解惑？
4.
下圖中已知\(\Delta ABC\)為正三角形，\(DEFGHIJK\)為正八邊形，且\(E\)為\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{CE}=2\)，\(A,C,D\)三點共線，\(A,B,F,G\)四點共線，則\(\overline{AF}=\)
。
