一、填充題
1.
坐標平面上有一直線\(L\)：\((3x-y)+a(x+y+4)=0\)，且坐標平面上有一圓\(C\)，其圓心坐標為\(M(1,2)\)且半徑為\(a\)。若當\(k<a<k+1\)時（\(k\)為正整數），直線\(L\)與圓\(C\)相切，則\(k=\)
。
2.
在坐標平面上，二元一次聯立不等式\(\begin{cases}x-y\le2\\x+2y\ge8\\x\ge2\\y\le5\end{cases}\)的解\((x,y)\)形成的解區域圖形為\(R\)，若直線\((2k+4)x+(k-1)y=7k+5\)將圖形\(R\)面積平分，則\(k=\)
。
3.
已知複數\(\displaystyle z_0=\frac{1}{7}+\frac{1}{5}i\)，且複數平面上有四點：0、1、\(i\)和\(1+i\)。令\(z_n=2z_{n-1}-\omega_n\)，\(\omega_n\)為上述四點中最靠近\(z_{n-1}\)的點，試求\(70z_{2026}=\)
。
4.
已知\(n\)為自然數，\(\langle a_n\rangle\)為共有\(n\)項的正實數數列，若\(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=24\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k)^2=36\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k)^3=54\)，則數對\((a_1,n)=\)
。
5.
設多項式函數\(f(x)=x^3+ax^2+bx+115\)，若滿足\(f(x)\)為遞增函數的數對\((a,b)\)，將其繪製於橫坐標為\(a\)軸、縱坐標為\(b\)軸的新坐標平面上，並將其區域令為\(S\)，則有關\(S\)與不等式\(2a-b+24\ge0\)的解所交集的區域面積為
平方單位。
6.
已知\(\displaystyle f(2x+3)=1+\sum_{k=1}^{115}\frac{x^k}{k}\)，試求極限值：\(\displaystyle \lim_{a\to0}\left(\lim_{b\to0}\frac{f(1+2a+3b)-f(1+2a)-f(1+3b)+f(1)}{ab}\right)=\)
。
7.
設橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{41}=1\)上有一動點\(P\)，若線段\(\overline{MN}\)為圓\(C\)：\(x^2+y^2-4x-1=0\)的一直徑，則\(\vec{PM}\cdot\vec{PN}\)的最大值為\(a\)、最小值為\(b\)，試求數對\((a,b)=\)
。
8.
小天在黑板上寫下\(0,1,2,3,4,5,6\)等7個整數，要求小真按照下述要求擦去數字，直至黑板上不存在正數：若\(n\)為此時黑板上之最大整數，且有\(k\)個\(n-1\)，則擦去一個\(n\)，並於空白處寫下\(k\)個\(n-1\)。最後於黑板上留下\(A\)個\(0\)。試求\(\log_{10}\log_{10}\log_{10}A\)的整數部分為
。
9.
設\(x,y\in\mathbb{R}\)，若\(x^2-2xy+3y^2=2\)，則\(x^2+2y^2\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)
。
10.
坐標平面上，圓\(C\)：\(x^2+y^2-6y+1=0\)，二次函數\(y=f(x)=kx^2\)的圖形與圓\(C\)分別在第一象限、第二象限各相切於一點\(P\)、\(Q\)，若圓\(C\)的下半圓弧與\(y=f(x)\)的上方所圍成的封閉區域為\(R\)，則將\(R\)繞\(x\)軸旋轉一圈形成的旋轉體體積為
立方單位。
11.
若\(x_1\)滿足\(2x+2^x=15\)，\(x_2\)滿足\(2x+2\log_2(x+3)=7\)，則\(x_1+x_2=\)
。
二、非選擇題
1.
設伯努力試驗中，成功的機率為\(p\)（其中\(0<p<1\)），且每次試驗成功與否不影響下次成功機率。試回答下列問題：
(1)若隨機變數\(X\)的取值表示獨立重複\(n\)次的伯努力試驗中成功的次數，試寫出隨機變數\(X\)的期望值與變異數，並證明之。
(2)設隨機變數\(Y\)的取值表示重複試驗直到成功累計2次為止所需的次數，試寫出隨機變數\(Y\)的期望值，並證明之。
2.
有一道數學問題：
已知\(-3\le x+2y\le9\)，\(-1\le2x-y\le8\)，試求\(8x+y\)的最大值、最小值。
小天的解法如下：
\(\matrix{-3\le x+2y\le9\Rightarrow -3\le x+2y\le9\cr
-1\le2x-y\le8\Rightarrow-2\le4x-2y\le16}\)，兩式相加得：\(-5\le5x\le25\Rightarrow-1\le x\le5\)
再解\(\matrix{-3\le x+2y\le9\cr -5\le-x\le1}\)，兩式相加得：\(-8\le 2y\le 10\Rightarrow -4\le y\le5\)
最後\(\matrix{-8\le8x\le40\cr -4\le y\le5}\)，兩式相加得：\(-12\le8x+y\le45\)，故所求最大值45，最小值\(-12\)。
請問：
(1)
小天在過程中犯了什麼錯誤？請指出修正後，引導
小天做正確的數學思考。
(2)請提出
兩種不同解法。
3.
小直在參觀某公益畫展時，其中有一幅畫掛在垂直地面的牆上，已知畫布上緣到下緣的總長為6公尺，其畫布下緣距離地面3.8公尺，已知
小直的眼睛距離地面1.8公尺。則他應該站在離牆\(x\)公尺處觀賞畫作，才可得最大視角\(\theta\)(銳角)。試求：當有最大視角\(\theta\)時，此時\(x\)值與\(tan\theta\)分別為何？
(註：
小直眼睛為\(A\)點，畫布上緣為\(P\)點，畫布下緣為\(Q\)點，視角\(\theta=\angle PAQ\))
阿真欲解決此道問題，算式如下：
\(\bbox[border:1px solid black]{令A點成牆面垂足為H ，因為銳角\theta越大，tan\theta越大，則由差角公式得：
\displaystyle tan\theta=tan(\angle PAH-\angle QAH)=\frac{\displaystyle\frac{8}{x}-\frac{2}{x}}{\displaystyle1+\frac{8}{x}\cdot\frac{2}{x}}=\frac{6x}{x^2+16}\ldots \ldots}\)
但接下來，
阿真不知道如何計算，因此求助數學老師…
身為數學老師的您，請提供阿真
四種不同的解法(相同概念視為同一種)，並說明如何引導
阿真繼續計算求得正確答案。
(類似問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307)
https://en.wikipedia.org/wiki/Re ... aximization_problem
算幾不等式\(\displaystyle tan\theta=\frac{6}{\displaystyle x+\frac{16}{x}}\le \frac{6}{2\sqrt{x\cdot \frac{16}{x}}}\)
圓的切線性質\(\overline{HA}^2=\overline{HQ}\cdot \overline{HP}\)
二次方程式的判別式\(\displaystyle\tan\theta=\frac{6x}{x^2+16}\)，\(\tan\theta x^2-6x+16\tan \theta=0\)，判別式\(D\ge 0\)
微分\(\displaystyle\tan'\theta=\frac{6(x^2+16)-6x(2x)}{(x^2+16)^2}=\frac{6(16-x^2)}{(x^2+16)^2}\)
