計算證明題
1.
已知\(\sqrt{1700}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)，且\(0<x<y<z\)，且\(x\)、\(y\)、\(z\)為正整數，滿足上述的整數對\((x,y,z)\)共有多少組？
已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)，且\( 0<x<y \)，求整數對\( (x,y) \)。
(92台南縣國中聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=664&page=1#pid1086)
2.
設\(x\)為實數，試解\(2^x+4^x+8^x=39\)，求\(x=\)?
3.
試求極限值\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n-1}\right)\)。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
4.
設函數\(\displaystyle y=\frac{\sin2x-3}{\sin x+\cos x-2}\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(M+m=\)?
5.
已知\(A\)、\(B\)兩事件為非空的獨立事件，即\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)，試證當\(A\)、\(B\)兩事件獨立時，\(A'\)、\(B\)亦為獨立事件。（其中\(A'\)為\(A\)的補集）
6.
若存在多項式\(f(x)\)使得\(\displaystyle\int_1^xf(t)dt=f(x)+2x^3+k\)成立，則常數\(k\)的值為何？
7.
已知橢圓\(\displaystyle\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，\(P(6,4)\)，\(Q\)為橢圓上任一點，\(F_1(-4,0)\)，\(F_2(4,0)\)為橢圓之兩焦點，試求\(\overline{PQ}+\overline{QF_1}\)之最大值。
8.
已知\(n\)為小於2026的正整數，求使得\(C_n^{2026}\)為16的倍數之最小\(n\)值。
9.
已知正實數\(x,y\)滿足\(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\)，試求\(\displaystyle xy-\frac{1}{4}(x^2+y^2)\)的最大值。
10.
將邊長分別為10、12、14的三角形各邊中點連接，形成四個小三角形。已知它是一個四面體的展開圖，求這個四面體的體積為何？
11.
有一選舉，甲得5票，乙得4票，無廢票，試求整個開票過程甲得票數一路領先乙到底的機率。
12.
請以三種高中課綱內使用之方法，計算\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-4}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{2}\)兩歪斜線的距離。
13.
(1)設數列\(\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\)，試證明：\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\)收斂。
(2)設第(1)小題收斂到定值為\(e\)，試證明：\(e\)是無理數。
