一、填充題
1.
設\(a,b,c\in\mathbb{R}\)，且\(abc=1\)，\(ab+bc+ca-3abc=0\)，\(a\neq1,b\neq1,c\neq1\)，求\(\displaystyle\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}\)之值。
2.
求\(101^{15}\)的百萬位的數字。
3.
求曲線\(y=x^3-4x\)和其上一點\(P(1,-3)\)處之切線所圍成之區域面積。
4.
雙曲線\(\Gamma\)之兩焦點為\(F_1(0,0),F_2(2,2)\)，已知\(\displaystyle P\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}},2-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)為雙曲線\(\Gamma\)上一點，求雙曲線\(\Gamma\)的方程式。
5.
數列\(\langle a_n\rangle\)為等差數列，\(a_n=\log b_n,n=1,2,3,\dots\)。已知\(a_6=27,a_{10}=47\)，求\(b_1b_2\cdots b_{10}\)之值。
6.
求函數\(f(x)=(x-2)^3+3(x-2)^2-2(x-2)-6\)在\(x=-2\)的一次近似。
7.
曲線\(\displaystyle y=x^2-x+\frac{1}{4}\)和直線\(y=a,a\neq1\)相交於\(P,Q\)兩點，設\(P(x_1,a),Q(x_2,a),x_1>x_2\)，求\(\displaystyle\log_a|x_1^2-\frac{1}{4}|-\log_a|x_1+\frac{1}{2}|+2\log_a|x_2-\frac{1}{2}|\)之值。
8.
投擲均勻的骰子四次，出現的點數依次為\(n_1,n_2,n_3,n_4\)，在坐標平面上若\(A(n_1,n_2),B(n_3,n_4)\)，求\(A\neq B\)但\(\overline{AB}\)和直線\(y=x\)有共同點的機率。
9.
如圖，在等腰直角三角形\(ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=4\)，點\(P\)是\(\overline{AB}\)上異於\(A\)、\(B\)的一點，光線從\(P\)點出發，經\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)反射後又回到\(P\)點，若光線\(QR\)經過\(\triangle ABC\)的重心，則\(\overline{AP}=\)?（化成最簡分數）。
10.
\(a,b,c\in\mathbb{R}\)，若\(\begin{vmatrix}a^2+1&ab&ac\\ab&b^2+1&bc\\ac&bc&c^2+1\end{vmatrix}=15\)，求\(a+2b+3c\)之最大值。
11.
設\(A(1,-1,2),B(1,5,-4)\)，於平面\(E\)：\(x+y+z-5=0\)上求一點\(P\)，使\(|\overline{PA}-\overline{PB}|\)為最大，則\(P\)之坐標為？
12.
設\(i=\sqrt{-1}\)，對於任意正整數\(n\)恆有\((1-i)^n=a_n+ib_n\)，其中\(a_n,b_n\)為實數，已知二階方陣\(A\)使得\(A\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{bmatrix}\)，且在坐標平面上，\(P,Q,R\)三點經方陣\(A\)變換後所對之點分別為\(P'(1,2),Q'(4,6),R'(3,8)\)，則\(\triangle PQR\)的面積為？
13.
袋中有編號\(1,2,\dots,n\)號的球各1顆共\(n\)顆，自袋中任取2球，以隨機變數\(X\)表示取出2球編號的差之絕對值，若\(X\)的期望值小於12，則\(n\)的最大值為？
14.
已知橢圓：\(\displaystyle\frac{x^2}{m}+y^2=1(m>1)\)和雙曲線：\(\displaystyle\frac{x^2}{n}-\frac{y^2}{3}=1(n>0)\)有相同的兩個焦點\(F_1,F_2\)，點\(P\)是它們的一個交點，則\(\tan\angle F_1PF_2=\)?
15.
已知函數\(f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c\)在\(x=2\)處有極值，圖形在\(x=1\)處的切線與直線\(6x+2y+5=0\)平行，則\(f(x)\)的極大值與極小值的差為？
16.
已知不等式\(\log_2(|2x-1|+|5x-2|)\le3\)的解可以寫成\(a\le x\le b\)，求\(2a-b=\)?
二、計算證明題
1.
若\(\vec{a},\vec{b}\)為兩個非零向量，證明：\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)上的正射影為\(\displaystyle\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}\)。
2.
拋物線\(\Gamma\)：\((x-1)^2=8(y+1)\)及直線\(L\)：\(x-y=k\)，若拋物線\(\Gamma\)上恆可求出相異兩點\(P,Q\)，使得\(P,Q\)兩點對直線\(L\)成對稱點時，求\(k\)範圍。
