一、填充題
1.
若\(t\)為實數且滿足方程式\(\sqrt{t^4-4t^3+13t^2-6t+1}+\sqrt{t^4+2t^3+2t^2+2t+1}=5t\)，則\(t\)的值為 。
2.
空間中有一個六角錐\(O-ABCDEF\)，底面為邊長\(2\sqrt{2}\)的正六邊形\(ABCDEF\)，線段\(\overline{OA}\)垂直底面且\(\overline{OA}=\sqrt{7}+1\)，令平面\(OBF\)和平面\(OCE\)的二面角為\(\theta\)，則\(\sin\theta\)的值為 。（答案請簡化為\(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{b}\)的型式，其中\(a,b\)為正整數）
3.
實係數多項式\(f(x)=4x^2+bx+c\)，且滿足\(f(f(1))=f(f(2))=f(f(3))=d\)，則數組\((b,c,d)=\) 。
4.
在坐標平面上，橢圓\(\Gamma\)的方程式為\(\displaystyle\frac{(x-6)^2}{9}+\frac{(y-4)^2}{4}=1\)。設直線\(L_{m,P}\)是斜率為\(m\)且通過\(P\)點的直線，其中\(m<0\)，點\(P\)為橢圓\(\Gamma\)上的點。設直線\(L_{m,P}\)與\(x\)軸、\(y\)軸所圍成的封閉三角形面積為\(A_{m,P}\)，考慮所有\(m<0\)及所有橢圓\(\Gamma\)上的點\(P\)，則\(A_{m,P}\)的最小值為 。
5.
如右圖，扇形\(AOB\)的圓心角\(\angle AOB=\theta\)，\(\overline{OA}=1\)，圓\(O_1\)與\(\overline{OA}、\overline{OB}、\)弧\(\widehat{AB}\)均相切，圓\(O_{n+1}\)與圓\(O_n\)外切，並與\(\overline{OA}、\overline{OB}\)均相切，且令圓\(O_n\)的面積為\(a_n\)(\(\forall n\in\mathbb{N}\))，則極限\(\displaystyle\lim_{\theta\to0}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k}{\theta}\)的值為 。
6.
形如\(\displaystyle\frac{q}{p}\)（其中\(12\le p\le99\)）的最簡分數中，最接近\(\displaystyle\frac{3}{11}\)的最簡分數為 。
7.
如右圖（示意圖，不代表精準圖形），平面上有一圓內接四邊形\(ABCD\)，滿足\(\overline{AB}:\overline{AC}:\overline{AD}=5:10:11\)，\(\angle ACD=3\angle ACB\)，\(\angle ACB<45^\circ\)，\(\overline{BC}<\overline{BD}=48\)，則線段\(\overline{BC}\)的長度為 。
8.
在\(5\times5\)的方格棋盤共25個格子中，要求每一行和每一列都恰有3個格子被塗黑，則有 種不同的塗法。
9.
在坐標平面上，以原點\(O\)為圓心的單位圓上有相異三點\(A,B,C\)並依此順序逆時針排列，\(\angle AOB=\alpha\)，\(\angle BOC=\beta\)，\(\alpha,\beta\)皆為正實數。若\(\displaystyle\alpha+\beta=\frac{2\pi}{3}\)且平面上恰一點\(P\)滿足\(\vec{PA}\cdot\vec{PB}+\vec{PA}\cdot\vec{PC}=\vec{OA}\cdot\vec{OC}\)，則\(\cos\alpha\)的值為 。
10.
若\(k\)為整數且\(-5\le k\le5\)，將滿足\(|\;|\;x+2y|\;-5|\;+|\;|\;3x+4y|\;-k|\;\le 10\)的所有\((x,y)\)點在坐標平面上會形成一個封閉區域，設此封閉區域的面積為\(A\)，且\((A-1)\)是10的倍數，則所有滿足題意的整數\(k\)為 。
11.
若\(p,q\)均為質數，且\(p<q\)，則滿足\(pq|(3^p+3^q)\)的所有數對\((p,q)\)為 。
12.
如右圖，有一圓桌\(A\)~\(L\)共12人圍坐，兩兩握手配對（每人須與自己以外的另一人握手），並滿足下列兩條件：
(1)不准交錯握手（例如：若\(C\)跟\(E\)握手配對，那\(B\)跟\(D\)就不能握手配對）。
(2)\(A、D、J\)三人彼此不握手。
則共有 種不同的握手配對方式。
二、計算題
1.
對於所有的正整數\(n\)，數列\(\langle a_n\rangle\)滿足「\(\sqrt{a_n},\sqrt{a_{n+1}},\sqrt{a_{n+1}}\)是面積為\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)的等腰三角形三邊長」。請回答下列各小題。
(1)證明：數列\(\langle a_n\rangle\)滿足遞迴關係式\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_n+\frac{12}{a_n}\right)\) \(\forall n\in\mathbb{N}\)。
(2)設\(a_1=100\)，則數列\(\langle a_n\rangle\)是否收斂？請證明之。
2.
若兩實數\(\alpha\)與\(\beta\)滿足方程式\(\begin{cases}\alpha^3-9\alpha^2+30\alpha+1990=0\\\beta^3-6\beta^2+15\beta-2040=0\end{cases}\)，求\(\alpha+\beta\)的值，並證明之。
