一、填充題
1.
若\(x,y,z\)均為實數，則\(2^{x^{2}+4y+2}+2^{4y^{2}+2z+2}+2^{z^{2}+2x+2}\)的最小值為
。
2.
已知拋物線\(y=x^{2}+kx+1\)與直線\(2x+y+k=0\)圖形有兩個交點而且兩交點分別在\(y\)軸的兩側，則\(k\)的範圍為
。
3.
設有7個機器戰警，其戰鬥力分別為：\(3,7,15,31,63,127,255\)。每兩個戰警可合組成一個新的戰警，且新戰警仍可繼續與其他戰警組合；假設每一次組合戰鬥力的變化規則如下：「戰鬥力為\(x\)與\(y\)的兩個戰警，可合組成戰鬥力為\(x+y+xy\)的新戰警」。已知不論組合的次序如何，經過6次的重組之後，最後留下來的唯一戰警之戰鬥力都等於\(k\)，則\(\log_{2}(k+1)=\)
。
4.
設正整數\(x,y,z\)出現偶數的機率分別為\(\displaystyle\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{5}\)且彼此互不影響，試問在\(xy\)為偶數的條件下，\(x+y+z\)為奇數的機率為
。
5.
正方形\(ABCD\)的邊長為10，\(P\)、\(Q\)分別為\(\overline{AD}\)與\(\overline{BC}\)上的點，沿\(\overline{PQ}\)將四邊形\(ABQP\)翻摺，使得點\(A\)落在\(\overline{DC}\)邊上，若欲使得四邊形\(ABQP\)的面積最小，則\(\overline{AP}=\)
。
6.
調查8個學生在端午節當天所吃粽子數量（所吃粽子數量均為正整數），已知此8個學生中最少吃2顆粽子，最多吃6顆粽子，則由此數據可知下列哪些一定正確？（全對才給分）
(A)算術平均數\(\le4\)
(B)若中位數\(=4\)，則算術平均數\(\le4\)
(C)若只有一個眾數且眾數\(=2\)，則算術平均數\(\le4\)
(D)標準差\(\le2\)
(E)若調查結果，8位學生共吃了23顆粽子（粽子均相同，每人最少吃2顆、最多吃6顆，且有學生恰好吃2顆亦有學生恰好吃6顆），則此23顆粽子分給8位學生，共有672種不同分法
7.
坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為\((-1,2,1)\)、\((-4,1,3)\)、\((2,0,-3)\)，另一面之一頂點在\(yz\)平面上且與原點距離為\(\sqrt{13}\)。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為
。
8.
在坐標平面上的點序列\((a_{1},b_{1})\)，\((a_{2},b_{2})\)，\((a_{3},b_{3}),\dots\)，對所有的\(n=1,2,3,\dots\)都滿足\((a_{n+1},b_{n+1})=(\sqrt{3}a_{n}-b_{n},\sqrt{3}b_{n}+a_{n})\)。若\((a_{115},b_{115})=(1,5)\)，試問\(a_{4}+b_{4}=\)
。
9.
小豬四兄弟合資郵購了三百多顆的蘋果，蘋果寄到家裡時，家裡恰好只有豬大哥在。豬大哥想將蘋果均分為四堆，卻發現多了一顆，
(1)豬大哥吃掉一顆，並拿走剩餘蘋果的四分之一然後離家。豬二哥回家時發現這些蘋果，不知道豬大哥已經拿走一些，豬二哥想將蘋果均分為四堆，卻發現多了一顆，
(2)豬二哥吃掉一顆，並拿走剩餘蘋果的四分之一然後離家。豬三哥回家時發現這些蘋果，不知道豬大哥豬二哥已經拿走一些，豬三哥想將蘋果均分為四堆，卻發現多了一顆，
(3)豬三哥吃掉一顆，並拿走剩餘蘋果的四分之一然後離家。豬小弟回家時發現這些蘋果，不知道豬大哥豬二哥豬三哥已經拿走一些，
(4)豬小弟想將蘋果均分為四堆，發現剛好可以平分為四堆。
請問蘋果有
顆。
10.
在坐標平面上，考慮二階方陣\(A=\left[\matrix{\displaystyle\frac{4}{5}&\frac{-3}{5}\cr \frac{3}{5}&\frac{4}{5}}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_{1}\)，若\(P_{1}\)經\(A\)變換成\(P_{2}\)，\(P_{2}\)經\(A\)變換成\(P_{3}\)。假設\(P_{1}\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}-5\)上的動點，試求\(\triangle P_{1}P_{2}P_{3}\)面積的最小值為
。
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a=\overline{OP_1}\)。
(1)試求\(sin(\angle P_1OP_3)\)。
(2)試以\(a\)表示\(\Delta P_1P_2P_3\)的面積。
(3)假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
(106數甲)
11.
設\(a,b\)為整數，若多項式\(x^{2}+x-1\)為\(ax^{17}+bx^{16}+1\)的因式，試求\(a\)之值為
。
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1752)
12.
設數列\(\langle a_{n}\rangle\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)且滿足\(S_{n}=2a_{n}-1,\forall n\in N\)。數列\(\langle b_{n}\rangle\)滿足\(b_{1}=3\)且\(b_{n+1}=a_{n}+b_{n},\forall n\in N\)，試求\(\displaystyle\sum_{k=1}^{30}b_{k}\)的末兩位數字為何？
。
13.
若\(x>0\)，試求\(\displaystyle\frac{\sqrt{x^{4}+x^{2}+2x+1}+\sqrt{x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+1}}{x}\)的最小值為
。
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽，連結有解答
https://www.imohkc.org.hk/tests)
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
14.
正\(\triangle ABC\)的邊長為5，若點\(P\)在\(\triangle ABC\)外接圓的劣弧\(AB\)上，試求\(\triangle APB+\triangle APC\)面積的最大值為
。
15.
空間中直線\(L\)通過點\(P(1,2,-1)\)，已知\(L\)和\(L_{1}\)：\(\displaystyle\frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)交於\(A\)點；\(L\)和\(L_{2}\)：\(\displaystyle\frac{x+1}{4}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+2}{-1}\)交於\(B\)點，試求\(B\)點座標為
。
空間中，設一直線\(L\)通過\((5,3,2)\)與直線\(\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}\)交於\(P\)點，且與直線\(\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{5}\)交於\(Q\)點，則
(1)試求直線\(L\)的直線方程式。(以對稱比例式表示)
(2)求\(\overline{PQ}\)的長為何？
(104松山高中二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid16305)
16.
設\(x,y,z>0\)且滿足\(\begin{cases}x^{2}+y^{2}+xy=2\\y^{2}+z^{2}+yz=3\\z^{2}+x^{2}+zx=5\end{cases}\)，試求\(x+y+z\)之值
。
\(x,y,z\)為正實數，\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=9 \cr y^2+yz+z^2=16 \cr z^2+zx+x^2=25}\)，求\(x+y+z=\)？
(101松山工農二招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7036)
二、計算證明題
17.
試證明：任意實係數三次多項式函數\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d(a\neq0)\)之圖形均為點對稱圖形。
18.
設正實數\(a,b,c,d\)滿足\(abcd>a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\)
(1)試證明：\(\sqrt[4]{abcd}>2\)
(2)試證明：\(abcd>a+b+c+d+8\)
