嘉義高中

一、填充題
1.
有一正立方體的三個面的中心為\(P(8,7,-1)\)、\(Q(16,-1,3)\)、\(R(8,1,5)\)，則此立方體的表面積為　　　平方單位。

2.
若\(\displaystyle-\cos^2x+k\cos x+\frac{3}{2}\ge0\)對於任意實數\(x\)恆成立，則\(k\)的範圍為　　　。

3.
若一直線\(L\)和\(\displaystyle y=\frac{1}{2x}+x^2\)恰交於三點，其中兩點的\(x\)坐標分別為\(5,6\)，則第三個點的\(x\)坐標為　　　。

4.
若\(g(x)\)為一多項式，且當\(x\ge0\)時，\(\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t+1)g(t)dt=\frac{1}{4}x^4+x^3+x^2+2x\)，則\(g(x)=\)　　　。

5.
若\(a=2026,b=2028\)且\(ac=100,bd=101\)，則\(a^{\log b}\cdot b^{\log c}\cdot c^{\log d}\cdot d^{\log a}\)的值為　　　。

6.
凸四邊形\(ABCD\)的兩對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於\(O\)點，若三角形\(AOB\)與三角形\(COD\)的面積分別為\(16\)與\(25\)，則四邊形\(ABCD\)面積的最小值為　　　。

7.
設\(f\)為一定義在正整數上的函數，滿足\(f(n)\)為正整數\(n\)的各位數字平方和，例如：\(f(110)=1^2+1^2+0^2=2\)。此外，定義\(\begin{cases}f_1(n)=f(n)\\f_{k+1}(n)=f(f_k(n))\end{cases}\)，其中\(k\)為任意正整數，則\(\displaystyle\sum_{k=1}^{2026}[f_k(110)-f_k(107)]\)之值為　　　。

8.
設函數\(f\)：\(\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)且同時滿足以下條件：
(1)\(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\)
(2)當\(x\to0\)時，\(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\to2\)。
則\(f(2)=\)　　　。

9.
設\(t\)為實數，則\(2t^2-\sqrt{(2t^2-6)^2+(4t-3)^2}\)的最大值為　　　。

10.
若\(a,b,c,d\)為正整數，\(abcd=400\)且\(ab,bc,cd,da\)為完全平方數，試問序組\((a,b,c,d)\)有　　　種可能。

11.
已知複數\(\alpha\)滿足\(\alpha^{2026}=1\)且\(\alpha\ne1\)，若\(\displaystyle\beta=\frac{1}{1-\alpha}\)，則\(\beta\)的所有可能值之和的實部為　　　。

12.
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{BC}=\sqrt{2}\)，\(\overline{CA}=3+\sqrt{3}\)，\(\overline{AB}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}\)，若\(\Gamma\)是包含\(A\)、\(B\)、\(C\)作其頂點（不一定連續）的最小正多邊形，求\(\Gamma\)的面積為　　　。

13.
已知有一個三次多項式函數\(f(x)\)滿足以下三個條件：
(1)\(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=24\)
(2)\(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{f'(x)}{x+1}=-18\)
(3)\(\displaystyle\sum_{n=1}^{5}f(n)=-55\)
試求\(f(x)\)與\(x,y\)軸所圍成之區域面積為　　　。

14.
有一數列\(\langle a_n\rangle\)定義為：\(a_1=1\)且\(\cases{\displaystyle a_n=a_{\displaystyle\frac{n}{2}}+1，當n=2,4,6,8,\dots\cr a_n=\frac{1}{a_{n-1}}，當n=3,5,7,9,\dots}\)若\(\displaystyle(a_m,a_n)=\left(8,\frac{19}{7}\right)\)，則\(m-n\)的值為　　　。

15.
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{CD}\)是\(\angle C\)的內角平分線，\(D\)在\(\overline{AB}\)上。若\(\overline{BD}=2\)且\(\triangle ABC\)的外心與\(\triangle BCD\)的內心重合，則\(\overline{AB}=\)　　　。

二、證明題
已知隨機變數\(X\sim G(p)\)，請證明：(1)\(\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}\)。(2)\(\displaystyle Var(X)=\frac{1}{p}(\frac{1}{p}-1)\)。

7. 答案是否有誤，我求的是-61

第 7 題
官方答案 -88，應該沒錯

想請教一下第15題，謝謝

填充題第 15 題：

設 \(\triangle ABC\) 的外心、也就是\(\triangle BCD\) 的內心為 \(O\)，如圖。

qq15a.png (26.91 KB)

2026-4-23 12:39

因為 \(O\) 為 \(\triangle ABC\) 的外心，所以 \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)。

因為 \(O\) 為 \(\triangle BCD\) 的內心，所以 \(\overline{OB}, \overline{OC}, \overline{OD}\) 分別平分 \(\angle DBC, \angle BCD, \angle CDB\)。





令 \(\angle OBC = \theta\)，則

因為 \(\overline{OB}\) 平分 \(\angle DBC\)，所以 \(\angle OBD =\angle OBC = \theta\)。

因為 \(\overline{OB}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OCB = \angle OBC =\theta\)。

因為 \(\overline{OC}\) 平分 \(\angle BCD\)，所以 \(\angle OCD =\angle OCB = \theta\)。

因為 \(\overline{CD}\) 平分 \(\angle ACB\)，所以 \(\angle ACD =\angle DCB = 2\theta\)。

因為 \(\overline{OA}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OAC = \angle OCA =3\theta\)。

因為 \(\overline{OA}=\overline{OB}\)，所以 \(\angle OAB = \angle OBA =\theta\)。

如下圖。

qq15b.png (34.12 KB)

2026-4-23 12:39

利用  \(\triangle ABC\) 內角和為 \(360^\circ\)，得 \(10\theta =180^\circ\Rightarrow \theta = 18^\circ\)。

如下圖。

qq15c.png (23.92 KB)

2026-4-23 12:39

因為 \(\triangle DBC\) 與 \(\triangle ACD\) 皆為等腰三角形，所以 \(\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{BD}=2\)。

因為 \(\triangle ABC\) 與 \(\triangle ACD\) 皆為內角 \(36^\circ-72^\circ-72^\circ\) 的相似三角形，

得 \(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{2}{\overline{AB}-2}\Rightarrow \overline{AB}=1\pm\sqrt{5}\)，負不合。

故 \(\overline{AB}=1+\sqrt{5}\)。

謝謝weiye老師！