一、
設函數\(f(x)=\sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-2x+2}\)，請使用
兩種不同的方法去求函數\(f(x)\)的最小值及此時\(x\)的值為何？
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
二、
已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{na_n}{(n+1)(na_n+1)}\)，求\(a_1+a_2+\dots+a_n\)。
(我的教甄準備之路 求數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
三、
設\(\triangle ABC\)的內角\(\angle A,\angle B,\angle C\)的對邊分別為\(a,b,c\)，若\(\displaystyle a cos C-\frac{1}{2}c=b\)，試求
(一)\(\angle A\)的大小為何？
(二)若\(a=3\)，求\(\triangle ABC\)的周長\(l\)的取值範圍為何？
四、
利用單點透視法將坐標空間的點繪製在畫布的座標平面上。
已知
(一)空間中與\(y\)軸平行的直線，在畫布上的消失點為\((0,15)\)
(二)空間中與\(z\)軸平行的直線，在畫布上都與\(y\)軸平行
若點\((0,0,0)\)、\((3,4,0)\)、\((3,0,3)\)繪在畫布上分別為\((0,0)\)、\((\displaystyle \frac{13}{5},2)\)、\((3,3)\)，則點\((3,4,3)\)繪在畫布上的\(y\)座標為
。(化為最簡分數)
(註：右圖為三點\((3,4,0)\)、\((3,0,3)\)、\((3,4,3)\)於坐標空間的位置關係)
(115學測數B，連結有解答
https://www.ltedu.com.tw/QRApp/m ... %AD%B8%E7%A7%91.pdf)
五、
求極限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{10^{10}}{n^{10}}[1^9+2^9+3^9+\dots+(2n)^9]=\)
。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
六、
已知點\(A(a,b)\)在圖形\(\displaystyle y=f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+10x-7\)上，若直線\(L\)為以\(A\)點為切點的切線，且直線\(L\)和兩坐標軸可圍成一個等腰三角形，試求\((a,b)=\)
。
七、
在區間\([0,2\pi]\)中，函數\(y=f(x)=\sin(2\pi\cdot\sin(x))\)與\(x\)軸共有\(m\)個交點，其中有\(n\)個交點與\(x\)軸相切，試求\((m,n)=\)
。
八、
設空間有四個平面\(E_1:x+y+z=0\)、\(E_2:x+y+z=3\)、\(E_3:x+y+z=9\)及\(E_4:x+y-z=0\)，若\(E_4\)上有一正三角形\(ABC\)，而\(A\)、\(B\)、\(C\)分別也在\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)上，試求正三角形\(ABC\)的面積為
。
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6229)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
一、
若實數\(x,y(0<x,y<5)\)滿足方程組\(\begin{cases}\sqrt{xy}+\sqrt{(5-x)(5-y)}=4\\\sqrt{x(5-y)}+\sqrt{y(5-x)}=5\end{cases}\)，求\(x^3+y^3=\)
。
二、
多項式\(f(x)=x(1-x)(1+x^2)\)，選取積分區間\(a\le x\le b\)，使得定積分\(\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)達到最大值，求最大值為
。
三、
如圖，半徑為6的大圓內部正好放置七個大小都相等的小圓彼此相切，則陰影部份的面積等於
。
(111嘉義高中科學班，
https://www.cysh.cy.edu.tw/var/file/8/1008/img/51/296500898.pdf)
四、
如圖，\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，且正方形\(DGEF\)內接於\(\triangle ABC\)內，使得\(D\)、\(G\)分別在\(\overline{AC}\)、\(\overline{BC}\)上，以及\(E\)、\(F\)在\(\overline{AB}\)上。試證：\(\overline{AB}\ge 3\overline{EF}\)。
五、
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，且\(D\)、\(E\)、\(F\)三點分別在\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)三邊上，使得\(\overline{DE}//\overline{AB}\)，又\(\triangle BDF\)之面積為9，\(\triangle AFE\)之面積為15，\(\triangle DCE\)之面積為32，試求\(\triangle DEF\)與\(\triangle ABC\)面積之比值為
。
六、
設\(a,b\)為整數，如果多項式\(x^2-x-1\)為多項式\(ax^{17}+bx^{16}+1\)之因式，試求\(a\)與\(b\)之值。
Find a if a and b are integers such that \( x^2-x-1 \) is a factor of \( ax^{17}+bx^{16}+1 \).
(1988AIME，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1752)
