一、填充題
1.
建功高中全體教師中，有\(10\%\)具博士學位，\(40\%\)具碩士學位，其餘為學士學位。已知學士學位教師中有\(30\%\)通過英文檢定，碩士學位教師中有\(60\%\)通過英文檢定，博士學位全數通過英文檢定。今隨機抽選一位已通過英文檢定的教師，則該教師具碩士學位的條件機率為 。(化為最簡分數)
2.
建功高中辦辦理科展，由7位數學老師、6位自然老師與2位資訊老師共15人中，選出8人分成兩組擔任指導老師，每組各4人。若規定每組都恰有1位數學老師，且都至少有1位自然老師，則共有 種分組方式。
3.
設正四面體\(ABCD\)中，頂點\(A(3,2,0)\)，且底面\(\triangle BCD\)所在平面為\(2x+3y+6z+2=0\)，求此正四面體的體積= 。
4.
坐標平面上，已知二次函數圖形\(\Gamma:y=f(x)\)的頂點\(P\)在直線\(2x+y+2=0\)上，且交\(x\)軸於點\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)。將\(\Gamma\)平移使得平移後圖形的頂點\(Q\)仍在直線\(2x+y+2=0\)上，且亦通過點\(B(1,0)\)，此時\(P\)、\(Q\)為兩相異點，則\(\overline{PQ}=\) 。
5.
已知\(f(x)\)為實係數三次多項式，且\(f(1-i)=3\)，\(f(0)=-3\)，\(f(2)=3\)。若方程式\(x^2f(x)+12=3x^2+f(x)\)的五個根分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)，試求\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=\) 。
6.
在\(\triangle ABC\)中，已知\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\vec{BA}\cdot\vec{BC}=3\vec{CA}\cdot\vec{CB}\)，則\(\triangle ABC\)最大角的正弦值為 。
7.
已知\(a>b>1\)，若\(\log_{a}b+\log_{b}a=\displaystyle\frac{5}{2}\)，則\(\displaystyle\frac{b}{a+4}\)的最大值為 。
8.
已知\(z_{1},z_{2}\)是互為共軛的複數，若\(\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=4\sqrt{3}\)，\(\displaystyle\frac{z_{1}}{{z_{2}}^{2}}\in\mathbb{R}\)，則\(|z_{1}|=\) 。
9.
已知函數\(f(x)=\sqrt{2\left((x^{2}-5)^{2}+(x+3)^{2}\right)}+(x^{2}-x+1)\)，則\(f(x)\)的最小值為 。
10.
設\(f(x)=a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\)，其中\(a_{i}\in\{-1,1\},i=0,1,\cdots,6\)，若\(f(2)=-53\)，則\(f(1)=\) 。
11.
若\(a\)、\(b\)、\(c\)為多項式方程式\(x^3+2025x+1=0\)的根，試求\(a^3b^2+a^2b^3+b^3c^2+b^2c^3+c^3a^2+c^2a^3\)的值為 。
12.
設\(a,k,m\)為非負整數，且滿足\(\displaystyle\frac{4^{a}+4^{a+k}+4^{a+2k}+\cdots+4^{a+mk}}{2^{a}+2^{a+k}+2^{a+2k}+\cdots+2^{a+mk}}=1928\)，且方程式僅有一組解，試求\((a,k,m)=\) 。
13.
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n}\left[\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{3}+\left(\displaystyle\frac{6}{n}\right)^{3}+\left(\displaystyle\frac{11}{n}\right)^{3}+\cdots+\left(\displaystyle\frac{5k-4}{n}\right)^{3}+\cdots+\left(\displaystyle\frac{5n-4}{n}\right)^{3}\right]=\) 。
14.
設有兩個不全等三角形，其面積相同。若每個三角形均有兩邊長為7與9，且其第三邊長為整數，則此兩三角形第三邊長度之和為\(=\) 。
15.
設\(a_{1}=2\)，且數列\(\langle a_{n}\rangle\)對於所有\(n\ge2\)滿足\(\displaystyle\frac{a_{n}-1}{n-1}=\displaystyle\frac{a_{n-1}+1}{n}\)，求\(\displaystyle\left[\sum_{n=1}^{50}a_n^2\right]=\) 。
二、計算題
1.
已知\(a>0\)，令矩陣\(A=\begin{bmatrix}a&1\\-1&a\\\end{bmatrix}\)，在座標平面上直線\(L_1\)的方程式為\(y=1\)，設\(L_1\)經矩陣\(A\)變換後成另一條直線\(L_2\)，\(L_1\)經矩陣\(A\)的反矩陣\(A^{-1}\)變換後成另一條直線\(L_3\)，令\(L_1\)與\(L_2\)的交點為\(P\)，\(L_1\)與\(L_3\)的交點為\(Q\)，\(L_2\)與\(L_3\)的交點為\(R\)，\(\triangle PQR\)的面積為\(S(a)\)
(1)求\(L_1\)與\(L_2\)的方程式。
(2)求\(P\)，\(Q\)，\(R\)的座標。
(3)求\(S(a)=\)?
(4)求\(\displaystyle\frac{S(a)}{a}\)的最小值。
2.
設三次函數\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x\)，其圖形記為\(C\)。對任意實數\(k\)（其中\(0<k<\displaystyle\frac{1}{2}\)），設\(P(k,f(k))\)為曲線\(C\)上一點，並設\(L_k\)為曲線\(C\)在點\(P\)的切線，試回答下列問題：
(1)求切線\(L_k\)的方程式。
(2)切線\(L_k\)除了與曲線\(C\)於點\(P\)相切外，尚與曲線\(C\)交於另一點\(Q\)，求點\(Q\)的\(x\)座標。
(3)曲線\(C\)與切線\(L_k\)所圍的有界區域為\(A(k)\)，求\(A(k)\)的最小值。
