填充9. 第一行的觀察出，背後是單調性，以此推廣做類似勘根的操作，可以將範圍縮的更小

設函數 \( f(x) = [x[x[x[x]]]] \)，易知：當 \( x \geq 0 \) 時， \( f(x) \) 為遞增函數

而 \( f(3) = 81 \), \( f(4) =256 \), \( f(\frac{10}3) = \frac{10}3 \times 33 =110 \), \( f(\frac{11}3) \approx 146 \)
(先夾出 \( [x[x]] \) 的值

設原方程式有正實數解 \( a \)，則 \( \frac{10}3 < a < \frac{11}3 \)，

而 \( [a[a]] = 10 \), \( f(a) = a[10a] = 114 \)

令 \( k = [10a] \),  \( \frac{100}3 < 10a < \frac{110}3 \) \( \Rightarrow 33 \leq k \leq 36 \)
\( a=\frac{114}k \Rightarrow 10a=\frac{1140}{k}\)
\( \Rightarrow k =[10a] \le 10a = \frac{1140}{k} \) \( \Rightarrow k \le \sqrt{1140} \approx 33.8 \)
故 \( k \geq 33 \) (上三行其實可以換成勘根的寫法)
因此正根(唯一可能)僅需檢驗 \( a= \frac{1140}{33} \)

另一方面當 \( x \leq 0 \)， \( f(x) \) 也為遞減函數

而 \( f(-3) = 81 \), \( f(-4) =256 \), \( f(\frac{-14}4) = \frac{-14}4 \times (-49) = 171.5 \), \( f(\frac{-13}4) = \frac{-13}4 \times (-43) = 139.75 \)

設原方程式有負實數解 \( b \)，則 \( \frac{-13}4 < b < -3 \)
此時 \( f(b) = b[12b] \)，而 \( -39 < 12b < -36 \)，故 \( [12b] = -37\)  或 \( -38 \) 或 \( -39 \)
而 \( [12b] = \frac{114}{b} \) \( \Rightarrow -38 < [12b] < -\frac{456}{13} \approx -35.1 \)  \(-38 < [12b] < - 35 \)

綜合以上，共需檢查兩個情形 \( x= \frac{114}{33}, \frac{114}{-37} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2026-3-18 07:25 編輯 ]

填充第 10 題：

\(\displaystyle x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76\)

\(\displaystyle = \left(x^2-8x+16\right)+4\left(x-1\right)-2\times2\sqrt{x-1}\times8+8^2\)

\(\displaystyle = \left(x-4\right)^2+\left(2\sqrt{x-1}-8\right)^2\)

令 \(\displaystyle P(x,2\sqrt{x-1})\)， \(A(4,8)\)，

則 \(\displaystyle x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76=\overline{PA}^2\) 。

且 \(P\) 在滿足 \(\displaystyle y=2\sqrt{x-1}\) 且 \(x \geq1\) 的曲線上，

即 \(P\) 在滿足 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 且 \(y\geq0, x \geq1\) 的曲線上，

即 \(P\) 在 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 拋物線位於第一象限或正向 \(x\) 軸的曲線上，

因為拋物線 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 的頂點為 \((1,0)\)，焦點 \(F(2,0)\)，準線為 \(y\) 軸，

所以 「\(P\) 點的 \(x\) 坐標」  =「\(P\) 點到準線 \(y\) 軸的距離」 =「\(P\) 點與焦點 \(F\) 的距離」  = \(\overline{PF}\)，

得 \(\displaystyle x\times \sqrt{x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76} = \overline{PF}\times\overline{PA}\) 。

另一方面，

\(\displaystyle x^2-2x-2-16\sqrt{x-1} = \frac{1}{2}\left[x^2 + \left(x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76\right)\right] - 40 = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}^2+\overline{PA}^2\right) - 40\) 。

因此，

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}^2+\overline{PA}^2\right)+40 +\overline{PF}\times\overline{PA} \)

\(\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PA}\right)^2 - 40\) 。

當 \(A,P,F\) 三點共線且 \(P\) 在 \(A\) 與 \(F\) 之間時，可得 \(f(x)\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{1}{2}\overline{AF}^2 - 40 =  -6\)，

此時，解 \(AF\) 直線方程式與拋物線 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 於第一象限的交點之 \(x\) 坐標，可得使 \(f(x)\) 最小值發生時的 \(x\) 值。

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2026-3-17 16:33