一、填充題甲
1.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為正整數，且\(a<b<c\)，已知\(a+b+c+ab+ca=376\)，則序對\((a,b,c)=\)
。
2.
已知甲、乙、丙、丁、...共16人任意平分成4組，每組4人，則甲、乙同組且丙、丁不同組的機率為
。
3.
已知\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數,若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{2026}\frac{1}{2^{[\sqrt{n}]}}=a-\frac{b}{2^{42}}\)，其中\(a\)為一位數正整數，\(b\)為二位數正整數，則\(a+b=\)
。
4.
試求極限值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sqrt{3n^2-k^2+2nk}}{n^2}\)的值為
。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
二、填充題乙
5.
已知\(y=f(x)=2^{x}\)的反函數為\(y=g(x)\)，將\(y=g(x)\)對\(y\)軸對稱後為\(y=h(x)\)，再將\(y=h(x)\)對\(x+y=0\)對稱後為\(y=k(x)\)。直線\(y=-x+11\)分別和\(y=f(x)\)、\(y=g(x)\)交於點\(A(3,8)\)、點\(B\)；直線\(y=x+11\)分別和\(y=h(x)\)、\(y=k(x)\)交於點\(C\)、點\(D\)，則四邊形\(ABCD\)的面積為
。
6.
設\(\cases{a_{n+1}=\alpha a_n+\beta b_n\cr b_{n+1}=\gamma a_n+\delta b_n}\)，且矩陣\(A\)滿足\(\left[ \matrix{a_{n+1}\cr b_{n+1}}\right]=A\left[\matrix{a_n\cr b_n} \right],\forall n\in \mathbb{N}\)。已知矩陣\(A\)為不可逆的轉移矩陣，且\(\left[\matrix{a_5\cr b_5}\right]=\left[\matrix{\displaystyle \frac{2}{3}\cr \frac{4}{3}}\right]\)，則矩陣\(A=\)
。
7.
平面上有\(\triangle ABC\)，其中點\(A(1,5)\)、點\(B(7,2)\)，且\(\triangle ABC\)的面積為\(15\)。設\(P\)為圓\(x^2+y^2+14x+12y+80=0\)上一點，則當\(\overline{PC}\)長為最小時，\(C\)點坐標為
。
8.
已知\(P\)點到直線\(L_1\)：\(\displaystyle x+4=\frac{y-11}{7}=\frac{z-7}{2}\)與直線\(L_2\)：\(\begin{cases}x-z=7\\y=3\end{cases}\)的投影點分別為\(A(-5,a,b)\)與\(B(c,d,0)\)，且\(\overline{PA}=\overline{PB}\)，則\(P\)點坐標為
。
9.
平面上有一個中心為\(O\)點，\(F_1\)、\(F_2\)為兩焦點的橢圓\(\Gamma_1\)，且\(A\)點為其短軸上其中一個頂點。另有一個以\(O\)點為焦點，\(A\)點為頂點，且過點\(F_1\)、\(F_2\)的拋物線\(\Gamma_2\)。已知\(\Gamma_1\)與\(\Gamma_2\)有\(P\)、\(Q\)、\(A\)三個交點,則\(\displaystyle\frac{\overline{OP}}{\overline{OA}}=\)
。
10.
在數列\(\{\;a_n \}\;\)中，已知首項\(\displaystyle a_1=\frac{5}{2}\)，且遞迴關係式\(2a_n-a_{n-1}=4n+2\)(其中\(n\ge2\))，求此數列的一般項\(a_n\)為
。
(我的教甄準備之路 求數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
11.
設\(f(x)\)為一實係數三次多項式。已知\(f(x)\)除以\((x-2)^2\)的餘式為\(12x-20\)；且\(f(x)\)除以\((x-4)^2\)的餘式為\(12x-36\)。若\(y=f(x)\)的對稱中心為\((h,f(h))\)，則\(x\cdot f(x)\)除以\((x-h)(x-2)(x-4)\)的餘式為
。
12.
用12根鋼條架構出一個正立方體的裝置藝術，今將其斜立在公園的平地上，如圖所示。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A,B,C\)三處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)、\(\overline{CC'}\)。若已知此正立方體的邊長為13公尺，且\(A\)到地面的垂直距離\(\overline{AA'}\)為3公尺，點\(B\)到地面的垂直距離\(\overline{BB'}\)為4公尺，試求該正立方體中，距離地面最遠的頂點其高度為
公尺。
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)
公尺。
(110竹北高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3500&page=1#pid22462)
13.
如圖，\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{AC}=4\)、\(\overline{BC}=2\sqrt{11}\)。已知\(\overline{AD}\)是\(\angle BAC\)的平分線交\(\overline{BC}\)於\(D\)點。設\(E\)點在\(\overline{AB}\)上且滿足\(\overline{AE}=3\overline{BE}\)，又\(\overline{AD}\)和\(\overline{CE}\)交於\(G\)點，則\(\triangle ACG\)的外接圓面積為
。
14.
已知三正數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(x^2+4y^2+4z^2=12\)，則\(\sqrt{3xy}+5z\)的最大值為
。
