一、填充題
1.
有一邊長為\(\sqrt{2}\)的正八邊形\(ABCDEFGH\)，設點\(P\)為\(\overline{AC}\)和\(\overline{BG}\)的交點，點\(Q\)為\(\overline{AE}\)和\(\overline{BG}\)的交點，則三角形\(APQ\)的面積為
。
2.
\(\sqrt{(60+10\sqrt{35})^{\frac{3}{2}}-(60-10\sqrt{35})^{\frac{3}{2}}}=\)
。
3.
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7人選5人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有
種不同的排列。
4.
坐標空間中，設\(A\)，\(B\)兩點在某直線\(L\)上的投影點分別為\(C\)，\(D\)，已知\(\overline{AC}=\overline{BD}=4\)，且\(\overleftrightarrow{AC}\)，\(\overleftrightarrow{BD}\)兩直線的方程式分別為\(\overleftrightarrow{AC}\)：\(\displaystyle\frac{x-2}{2}=y-7=\frac{z+3}{2}\)，\(\overleftrightarrow{BD}\)：\(\displaystyle\frac{x-5}{2}=\frac{4-y}{2}=6-z\)，則\(\overline{AB}\)長度為
。
5.
若方程式\(\log_{2}|3x^{3}-18x+4\sqrt{2}|=k\)恰有五個實根，則\(k=\)
。
6.
已知三次函數\(f(x)=x(x-2)(x-4)\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}f\left(2+\frac{2i}{n}\right)\right)=\)
。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
7.
在空間中，直線\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}\)分別與平面\(E_1\)：\(x+y+z=3\)和\(E_2\)：\(x-y+2z=5\)交於\(A\)、\(B\)兩點，設動點\(P\)在\(E_1\)和\(E_2\)的交線上，則三角形\(\Delta PAB\)面積的最小值為
。
8.
在坐標平面上，\(O\)為原點，圓\(O\)：\(x^2+y^2=4\)有一弦\(\overline{AB}\)在直線\(x=1\)上，設動點\(P\)在弦\(\overline{AB}\)上，以\(\overline{OP}\)為弦心距的弦為\(\overline{MN}\)，所有可能的\(\overline{MN}\)所形成的區域面積為
9.
設\(z_1\)和\(z_2\)為複數，且\(\displaystyle\omega_1=\frac{1}{3}z_1+\frac{2}{3}z_2\)，\(\displaystyle\omega_2=\frac{3}{4}z_1+\frac{1}{4}z_2\)，已知\(\displaystyle\frac{\omega_1}{\omega_2}=1+\sqrt{3}i\)，則\(\displaystyle \Bigg\vert\;\frac{z_2}{z_1}\Bigg\vert\;=\)
。
10.
多項式\(f(x)\)滿足\(xf(x-1)=(x-5)f(x)\)且\(f(6)=1\)，則\(\displaystyle f\left(\frac{5}{2}\right)=\)
。
11.
在\(\Delta ABC\)中，已知\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=5\)，\(\angle A=2\theta\)，\(\theta\)以弧度計。若\(\triangle ABC\)的外接圓半徑為\(R(\theta)\)，則\(\displaystyle\lim_{\theta\to0}[R(\theta)\cdot\theta]=\)
。
12.
學期成績以平常成績的\(40\%\)加上段考成績的\(60\%\)計算，已知某班同學平常成績的標準差為\(20\)分，段考成績的標準差為\(15\)分，學期成績的標準差為\(13\)分，則平常成績與段考成績的相關係數為
。
13.
在某瀕危石虎的復育計畫中，研究員將石虎的活動範圍簡化為一條線性的棲地路徑，由左至右劃分為編號0，1，2，3，4，5的六個區塊。已知當石虎進入編號5的區塊（核心保護區）後，將獲得永久安全不再移動；若進入編號0的區塊（開發密集區），則會因環境威脅而消失。若該石虎每日向右移動一個區塊（編號增加1）的機率為\(0.6\)，向左移動一個區塊（編號減少1）的機率為\(0.4\)，且該石虎目前位於編號2的區塊，則它最終成功到達編號5區塊（核心保護區）的機率為
。
二、計算證明題
1.
在空間坐標系中，設\(\Omega\)為一底面落在\(xy\)平面上之直圓錐，其底面圓方程式為\(x^2+y^2\le4\)，且頂點為\(V(0,0,6)\)。設平面\(E_h\)：\(z=h\)（其中\(0<h<6\)）與\(\Omega\)相截之截痕為圓\(C_{h}\)。若\(R_h\)為\(C_h\)之內接矩形，則以\(R_h\)為底面、原點\(O(0,0,0)\)為頂點之四角錐體積的最大值為何？
2.
設\(f(x)=123x^2+234x-345\)，三次多項式\(g(x)\)的首項係數為1，且\(y=g(x)\)的圖形通過點\((114,f(114))\)、\((115,f(115))\)、\((116,f(116))\)。若\(g(x)\)在\(x=115\)附近的一次近似函數為\(h(x)\)，則\(x=114\)、\(x=116\)、\(y=g(x)\)和\(y=h(x)\)的圖形所圍成的區域面積為何？
3.
若實係數三次多項式\(f(x)\)有三個相異實根，且\(f'(x),f''(x)\)分別為\(f(x)\)的一階與二階導函數，請證明：\([f'(x)]^{2}\ge f(x)f''(x)\)對於所有實數\(x\)均成立。
