空間中，設矩形\(ABCD\)與矩形\(CDEF\)的二面角為\(30^\circ\)，\(\overline{AD}=20\)，\(\overline{AF}=26\)，且\(\overline{AP} \perp \overline{PE}\)，\(\vec{PE}// \vec{PD}\)。

已知 \(\vec{FG}=\alpha \vec{FE}+\beta \vec{FC}\)，其中\(\alpha,\beta\)為非零實數，且\(\vec{FG} \perp \vec{FA}\)，\(\overline{FG}=32\)，試問\(|\vec{GP}|\)的值為下列何者？
(1)23　(2)25　(3)30　(4)40　(5)52
請幫忙作答 多謝

是[空間座標系]

先來確定 P 的位置：

因為 向量PE 平行 向量 PD 且 兩向量有共同點 P，

得 P, D, E 三點共線。

又 AP垂直 PE 線段，得 P 是 "A 在 DE 線段的投影點" 。

因為 ABCD 與 CDEF 皆為矩形，所以 角ADC = 角CDE = 90度，

得 角ADE = 兩半平面的二面角 = 30度，

因此 AP長 = AD長 * sin30度 = 20，

PF長 = 根號（AF長^2 - AP長^2）= 24。

再來確定 G 的位置：

因為 向量 FG 可以表示為 向量 FE 與 向量 FC 的線性組合，

所以 G 位在 CDEF 所在的平面上。

因為 向量 FG 垂直 向量 FA，

所以 向量 FG 內積 向量 FA = 0

→ 向量 FG 內積 （向量 FP + 向量 PA ） = 0

→ “向量 FG 內積 向量 FP” + “向量 FG 內積 向量PA” = 0

因為 向量 FG 垂直 向量PA，得 “向量 FG 內積 向量 PA” = 0，

得  “向量 FG 內積 向量 FP” 亦為零，

→ 向量 FG 垂直 向量FP，

→ 三角形 FGP 為直角三角形（角 PFG=90度）

且由 FG長 =32 且 PF長 =24，得 GP長 = 根號（32^2 +24^2）=40。

感激不盡
事實上 我試過AI
DeepSeek做出來了 但是建立坐標系 看不太懂
ChatGPT Gemini Perlexity都沒做出來 可能題目都沒看懂
還是您厲害 多謝