一、填充題I
1.
已知多項式\(x^{26}\)除以\(x^2-x+2\)的餘式為\(181x+8098\)，求\(x^{23}\)除以\(x^2-x+2\)的餘式為
。
2.
設\(f(x,y)=2x^2-4xy+4y^2-4x-4y+5\)，其中\(x,y\)為實數，當\(x=m,y=n\)時，\(f(x,y)\)有最小值\(k\)，則數組\((m,n,k)=\)
。
類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
二、填充題II
6.
有6個人有網路帳號，已知每個人都
恰好與自己以外的2個人互為好友，則共有
種不同的組成方法。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=2#pid6035
8.
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{AC}=6\)，平面\(ABC\)外一點\(P\)到\(A\)，\(B\)，\(C\)三點的距離皆為8，求\(P\)點到平面\(ABC\)的距離為
。
9.
右圖為示意圖。平面上，四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}=1\)，\(\triangle ABC\)的面積為\(S\)，\(\triangle ACD\)的面積為\(T\)，則\(S^2+T^2\)的最大值為
。
平面上有一線段\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，動點\(M,N\)滿足\(\overline{AM}=\overline{MN}=\overline{NB}=1\)。將\(\triangle AMB\)與\(\triangle MNB\)的面積記為\(S\)與\(T\)，試求\(S^2+T^2\)最大值？
(101中正高中二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008)
10.
有一雙曲線\(\Gamma\)的貫軸長是共軛軸長的兩倍，令\(F_1\)、\(F_2\)分別為\(\Gamma\)的兩焦點，\(A\)、\(B\)均為\(\Gamma\)上的兩定點，且\(\overline{AB}\)通過\(F_2\)且\(\overline{AF_2}=3\overline{BF_2}\)，\(\triangle F_1AB\)的面積為96，求\(\Gamma\)的貫軸長為
。
12.
在複數系裡，1的8個8次方根在複數平面上，恰為內接於單位圓的正八邊形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\)的8個頂點，設\(P\)為此單位圓上一點，試求\(\overline{PA_1}
\times \overline{PA_2}\times \overline{PA_3}\times \overline{PA_4}\times \overline{PA_5}\times \overline{PA_6}\times \overline{PA_7}\times \overline{PA_8}\)的最大值為
。
三、計算證明題
1.
小毅每天選擇午餐的來源有3種即福利社、自帶午餐與外訂午餐，已知小毅的習慣是
不選擇與前天一樣的來源，假設\(n\)天(\(n\ge 2\))內小毅選擇午餐來源的所有方法中，第\(n\)天與第一天相同的方法數為\(a_n\)；第\(n\)天與第一天不同的方法數為\(b_n\)，可知\(a_2=3\times 0=0\)，\(b_2=3\times 2=6\)，若\(T\)為二階方陣且\(\left[\matrix{a_n\cr b_n}\right]=T\left[\matrix{a_{n-1}\cr b_{n-1}}\right]\)，其中\(n\)為正整數且\(n\ge 3\)。試求
(1)二階方陣\(T\)。
(2)當\(n\ge 2\)時，\(a_n\)的「一般項公式」。
