填充第 3 題：

將 \(\displaystyle y=b\cdot a^x\) 的圖形沿水平方向往右平移 \(2\) 單位，再對 \(x\) 軸鉛直伸縮 \(3\) 倍後，得 \(\displaystyle y=3b\cdot a^{x-2}\)，

因此 \(\displaystyle b\cdot a^x = 3b\cdot a^{x-2}\)，又 \(a>0\) 且 \(b>0\)，得 \(\displaystyle a=\sqrt{3}\)。

將 \(y=b\cdot a^x\) 的圖形對 \(y\) 軸水平伸縮 \(3\) 倍，再沿水平方向往右平移 \(2\) 單位後，得 \(\displaystyle y=b\cdot a^{\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-2\right)}\)，

因此 \(\displaystyle \left(b\cdot a^{\displaystyle \frac{1}{3}\left(x-2\right)}\right)^3 = b\cdot a^x\)，又 \(a>0\) 且 \(b>0\)，得 \(\displaystyle b=a=\sqrt{3}\)。


因此 \(\displaystyle f(x) = \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^x\Rightarrow f(x)= \left(\sqrt{3}\right)^{x+1}\)，

得 \(\displaystyle f^{-1}(x) = -1+\log_{\sqrt{3}}x\Rightarrow f^{-1}(x) = -1+\frac{2}{\log3}\cdot\log x\)。

故 數對 \(\displaystyle (r,s) = (-1, \frac{2}{\log3})\)

填充第 6 題：

不失一般性，設 \(\displaystyle \Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 且 \(P\left(a\cos\theta, b\sin\theta\right)\)，

因為 \(\Gamma\) 的面積 \(=\pi a b=5 \pi\)，所以 \(ab=5\)。

因為 \(\displaystyle \overline{PQ}:\overline{PR}=b^2:a^2\)，所以 \(\displaystyle \left|b\sin\theta\right|:\left|a\cos\theta\right|=b^2:a^2\Rightarrow |\sin\theta|:|\cos\theta| = b:a\Rightarrow \sin^2\theta:\cos^2\theta = b^2:a^2\)，

又 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1\)，得 \(\displaystyle \sin^2\theta = \frac{b^2}{a^2+b^2}\) 且 \(\displaystyle \cos^2\theta = \frac{a^2}{a^2+b^2}\)。

因為 \(\overline{QR}=\sqrt{6}\)，所以 \(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta = 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow a^2\cdot \frac{a^2}{a^2+b^2}+b^2\cdot \frac{b^2}{a^2+b^2} = 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}= 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow a^4+b^4= 6\left(a^2+b^2\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2= 6\left(a^2+b^2\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a^2+b^2\right)^2-50= 6\left(a^2+b^2\right)\)

解得 \(a^2+b^2= 3\pm\sqrt{59}\)，負不合，

故 \(a^2+b^2= 3+\sqrt{59}\)。

請教計算證明第 1(1) 題

計算證明第 1(1) 題：

因為對於任意整數 n 而言，
n^3−13n−9= n^3-n -12n -9
= (n-1)n(n+1) - 12n -9 恆為 3 的倍數，


所以若 n^3−13n−9 為質數，
則此質數只能是 3。

n^3−13n−9=3
→ n^3 -13n -12 =0
→ (n-4)(n+1)(n+3) =0
→ n = 4, -1 或 -3。

謝謝老師，想請問第 1(1) 小題如果是這樣寫，感覺就證明結束了，那第 1(2) 小題該怎麼寫？

我也覺得上面寫的 1(1) 就夠完整了，如果硬要畫蛇添足寫 1(2) ，那我可能會就鬼打牆的繼續寫：

① 把 n = 4, -1, -3 代入 n^3 -13n -9 ，計算結果皆為 3，為質數。

② 若 n 非 4, -1 或 3，因為 n^3 -13n -9 經分解可為 3 的倍數且其值亦非 3「因 n^3 -13n -9 =3 僅有 4, -1, -3 三根」，可知 n^3 -13n -9 必非質數（可能為合數或負數）。

由 ①②，得證「對於整數 n 而言，若 n^3 -13n-9 為質數，則 n = 4, -1 或 3。」

原來如此！謝謝老師！！