6.
阿綠由一個正六面體雕刻出一個立體作品(如圖一)，此立體作品是正四面體\(ABCD\)與正四面體\(EFGH\)之嵌合。已知兩正四面體ABCD與EFGH重疊之部分，剛好是以原正六面體各面之中心為頂點的正八面體(如圖二)。若原正六面體的稜長為1，則圖一中的立體作品之體積為　　　。

8.
一隻螞蟻沿著正立方體\(ABCD-EFGH\)的稜爬行，每次移動都是從某個頂點沿著正立方體的稜爬行至某個相鄰的頂點，且到每個相鄰頂點的機率均為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。已知這隻螞蟻一開始從\(A\)點出發，則在五次移動之後，到達\(G\)點的機率為　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071

二、計算證明題
5.
已知坐標平面上有兩定點\(A(-1,2)\)、\(B(1,4)\)，以及\(x\)軸上的一動點\(P\)，當\(\angle APB\)有最大值時，試求\(P\)點坐標。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307

請教計算第 2 題正確作法

二、計算證明題
2.
阿綠練習二階考題如下：
已知對於實數\(x\)而言，\([x]\)表示不大於\(x\)之最大整數。若\([x]+[3x]=5\)，試求出\(x\)之範圍。
以下是阿綠解題的過程，請你
(1)找出錯誤之處；　(2)提供正確作法；　(3)闡述你向阿綠解說的過程。
已知\(x-1<[x]\le x\)
\(3x-1<[3x]\le 3x\)
兩式相加得\(4x-2<[x]+[3x]\le 4x\Rightarrow 4x-2<5\le 4x\)，
解得\(\displaystyle \frac{5}{4}\le x<\frac{7}{4}\)
[提示]
設x=n+t，其中n為整數，0<=t<1
將t依0~1/3~2/3~1分段討論。

其實這種問題一直存在一個詭異的誤區
就跟出選擇題常常碰到一種情況
如果答案是2，選項說答案介於1和3之間，那這選項到底對不對?
說對的原因是2當然在1和3之間
說錯的原因是除了2以外其他的不是答案

這題的情況也是類似，整個推導沒有問題
只是因為沒考量到存在3x獨自變動而x不會變動的區間
而導致範圍過大
但答案的確還在那個範圍內(5/4<4/3<x<5/3<4/7)

計算四
從一個\(n\times n\)的方格紙中，隨機選取兩條相異縱線與兩條相異橫線，使其圍成一個矩形，令隨機變數\(X_n\)表示所圍出的矩形面積，\(E(X_n)\)表示\(X_n\)的期望值，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{E(X_n)}{n^2}\)之值。
[解答]

計算二
4/3<=x<5/3

請教老師

計算4的期望值式子的由來

謝謝老師

從一個\(n\times n\)的方格紙中，隨機選取兩條相異縱線與兩條相異橫線，使其圍成一個矩形，令隨機變數\(X_n\)表示所圍出的矩形面積，\(E(X_n)\)表示\(X_n\)的期望值，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{E(X_n)}{n^2}\)之值。

舉例4*4的方格
所有可能的矩形面積總和為(1*4+2*3+3*2+4*1)(1*4+2*3+3*2+4*1)
(1*4+2*3+3*2+4*1)代表的是兩列差距為1有4種,兩列差距為2有3種,兩列差距為3有2種.兩列差距為4有1種
(1*4+2*3+3*2+4*1)代表的是兩行差距為1有4種,兩行差距為2有3種,兩行差距為3有2種.兩行差距為4有1種

整理了一些解答，供參考~