1.
已知\(x,y\)為自然數，若\(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)，試求出所有的數對\((x,y)\)。
設 \(x,y\) 為整數，\(x\geq y\) 且滿足方程式 \(\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)，求數對 \(\left(x,y\right)\)。
(95基隆高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=865&page=1#pid1705)
8.
\(A\)有2枚公正的硬幣，\(B\)有1枚公正的硬幣，兩人進行遊戲，規則如下：
(1)將自己的所有硬幣拋出，正面多的一方取走對方的一枚硬幣。
(2)若雙方的正面數相同，則雙方都不取走對方的硬幣。
上述的動作為一局，當有一方擁有3枚硬幣便贏得遊戲(即遊戲結束)，否則就繼續進行下一局。求A在前3局贏得遊戲的機率為
。
15.
(圖1)中，\(1+4=5\)；(圖2)中，\(1+4=5\)、\(4+9=1\)、\(5+13=18\)；依此類推，每個圖的第\(k\)列數列為第\(k-1\)列相鄰兩數之和所形成的數列，每列比前一列少1項，並依此於最後一列得到一個整數。已知(圖n)中，第一列數列為1、4、9、16、…、\((n+1)^2\)，並依上述規則得到最後一列的整數，則此整數為
。(以\(n\)表示)
\(\matrix{1&&4\cr&4&\cr&圖1&}\)、\(\matrix{1&&4&&9\cr&5&&13&\cr&&18&&\cr&&圖2&&}\)、\(\matrix{1&&4&&9&&16\cr&5&&13&&25&\cr&&18&&38&&\cr&&&56&&&\cr&&&圖3&&&}\)、…
\(\matrix{1&&4&&9&&16&\ldots&(n+1)^2\cr&5&&13&&25&&□&\cr&&18&&38&&□&&\cr&&&56&&□&&&\cr&&&&？&&&&&&&&？&&&&\cr&&&&(圖n)&&&&}\)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)
二、計算證明題
3.(1)
試問極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{3}{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times 1^2}+\sqrt{4n^2+9\times 2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2+9\times (n-1)^2}\right)\)的值可用下列哪一個定積分表示？
(A)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+x^2}dx\) (B)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{1+9x^2}dx\) (C)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4+x^2}dx\) (D)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4+9x^2}dx\) (E)\(\displaystyle \int_0^3 \sqrt{4x^2+9}dx\)。
(2)承(1)，請求出此極限值。
