計算第 2 題
設\(P=(log_2x-1)\cdot (log_3 y)^2-2\cdot (3log_2 x+a)\cdot (log_3 y)+log_2 x+1\)，試問：
(1)當\(a=0\)，\(1\le x\le 2\)，且\(P\)恆為正值時，此時\(y\)的範圍為何？
(2)若對\(x\ne 2\)的一切正實數\(x\)，均有\(y\)使得\(P=0\)，試問實數\(a\)的範圍？
[解答]
令 m = logx (以 2 為底)，n = logy (以 3 為底)
P = (m - 1)n^2 - (6m + 2a)n + (m + 1)

(1) a = 0，1 ≦ x ≦ 2，0 ≦ m ≦ 1
P = (m - 1)n^2 - 6mn + (m + 1) = (n^2 - 6n + 1)m - (n^2 - 1) > 0
m = 0 代入，- (n^2 - 1) > 0，-1 < n < 1
m = 1 代入，(n^2 - 6n + 1) - (n^2 - 1) > 0，n < 1/3
取 -1 < n < 1/3
1/3 < y < 3^(1/3)
官方答案給錯了

(2) x ≠ 2，m ≠ 1
P = (m - 1)n^2 - (6m + 2a)n + (m + 1)
對 x > 0 且 x ≠ 2，均有 y 使得 P = 0
故 [-(6m + 2a)]^2 - 4(m - 1)(m + 1) ≧ 0
8m^2 + 6am + (a^2 + 1) ≧ 0
(6a)^2 - 4 * 8 * (a^2 + 1) ≦ 0
-2√2 ≦ a ≦ 2√2

計算1.
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，且滿足\(x+y+z=1\)，試證：\(\displaystyle \frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-zx}{y+zx}+\frac{z-xy}{z+xy}\le \frac{3}{2}\)
(參考)
(x - yz)/(x + yz) = 1 - 2yz/(x + yz) , x + yz = x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z).
原不等式等價於 yz/(x+y)(x+z) + zx/(y+z)(y+x) + xy/(z+x)(z+y)大於等於 3/4.
上列左式通分：［ yz(y+z) + zx(z+x) + xy(x+y)］/ (x+y)(y+z)(z+x)
                       =［ (x+y)(y+z)(z+x) — 2xyz ］/ (x+y)(y+z)(z+x)
                       =  1 — 2xyz/(x+y)(y+z)(z+x).
由 x+y 大於等於 2ㄏxy，⋯ 可知 xyz/(x+y)(y+z)(z+x)的最大值為1/8，此時 x=y=z=1/3，故得證。

整理了填充題解答 供參考~