114嘉義高中

5.
試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}k^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)=\)　　　。

6.
若\(x>0\)、\(y>-1\)，且\(x+2y=3\)，則\(x\cdot \sqrt{1+y}\)的最大值為　　　。

7.
若\(\alpha\)為\(2x+2^x=5\)之解，\(\beta\)為\(2x+2log_2(x-1)=5\)之解，則\(\alpha+\beta=\)　　　。

9.
若\(A\)為\(y=|\;x|\;\)上一點，\(B\)為\(x=y^2+4\)上一點，則\(\overline{AB}\)長的最小值為　　　。

14.
已知隨機變數\(\displaystyle X\sim B(101,\frac{1}{6})\)，當\(k=\)　　　時，機率\(P(X=k)\)有最大值。

15.
若\(m,n\)為正整數，方程式\(x^4+5x^3+mx^2+nx+4=0\)的四根中，有兩相異實根和為\(-5\)，則此方程式的最小可能實根為　　　。

計算
(1) 因為\(\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}=40,\overline{OC}=\overline{OD}=36\)
且\(\angle{AOC}=\angle{BOD}=\theta\)
故\(\displaystyle \triangle{AOC}\cong  \triangle{BOD} (SAS)\)

(2)\(\overline{BC}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}^2+\overline{BD}^2=\overline{CD}^2\)

在\(\triangle{COD}\)中，\(\overline{CD}^2=36^2+36^2-2\times 36^2 \times cos\angle{AOB}=324\)

10. 定義 \(\displaystyle f_n(x)=cosxcos2x\cdots cos(nx)\)

有 \(\displaystyle f_n(x)=f_{n-1}(x)cos(nx)\)

一次微分得到 \(\displaystyle f'_n(x)=f'_{n-1}(x)cos(nx)-nf_{n-1}(x)sin(nx)\)

二次微分且 \(x=0\)代入得到  \(f''_n(0)=f''_{n-1}(0)-n^2\)，且   \( f''_1(0)=-1\)

即可解出 \(f''_n(0)\)的一般式為\(\displaystyle \frac{-n(n+1)(2n+1)}{6}\)

所求即為 \(\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\geq 2025\)

n=17時為1785，n=18時為2109滿足題目
故n=18

4. 設\(\displaystyle \alpha= \frac{4}{3},\beta=\frac{2}{3}\)

有\(2f(2)=2=\displaystyle f(\frac{2}{3})f(\frac{4}{3})\)

又\(\displaystyle 2f(\frac{4}{3})=f^2(\frac{2}{3})\)

因此可得 \(\displaystyle 4= f^3(\frac{2}{3}) \Rightarrow \displaystyle f(\frac{2}{3})=\sqrt[3]{4}\)

填充11

想問一下第13題，謝謝！

填充13.
依 \( |A\cap B \cap C | = 0,1,2 \) 分三種情形討論

(1) 若 \( |A\cap B \cap C | = 0 \)，
恰有兩數在 \( A \cap B \) 且 不在 C 之中
恰有兩數在 \( B \cap C \) 且 不在 A 之中
恰有兩數在 \( C \cap A \) 且 不在 B 之中
故此類有 \( C^8_2 C^6_2 C^4_2 = 2520 \)

(2) 若 \( |A\cap B \cap C | = 1 \)，
恰有一數在 \( A \cap B \) 且 不在 C 之中
恰有一數在 \( B \cap C \) 且 不在 A 之中
恰有一數在 \( C \cap A \) 且 不在 B 之中
恰有一數在 \( A - (B \cup C) \) 之中
恰有一數在 \( B - (C \cup A) \) 之中
恰有一數在 \( C - (A \cup B) \) 之中
故此類有 \( P^8_7 = 40320 \)
(懶得畫圖，以上(以下也是)就是討論文氏圖中，各個小區域有幾個數)

(3) 若 \( |A\cap B \cap C | = 2 \)，
恰有零個數在 \( A \cap B \) 且 不在 C 之中
恰有零個數在 \( B \cap C \) 且 不在 A 之中
恰有零個數在 \( C \cap A \) 且 不在 B 之中
恰有兩數在 \( A - (B \cup C) \) 之中
恰有兩數在 \( B - (C \cup A) \) 之中
恰有兩數在 \( C - (A \cup B) \) 之中
故此類有 \( C^8_2 C^6_2 C^4_2 C^2_2 = 2520 \)

綜合以上，共有 \( 2520 + 40320 + 2520 = 45360 \)

第 13 題
A 有 C(8，4) = 70 種情形
例：A = {1，2，3，4}

|A∩B| = 2，B 有 C(4，2) * C(4，2) = 36 種情形
前面的 C(4，2) 是從 A 的 4 個元素取 2 個
後面的 C(4，2) 是從非 A 的 4 個元素取 2 個
例：B = {1，2，5，6}

|C∩A| = |C∩B| = 2
(1) C 恰含 |A∩B| = 2 的這 2 個，只有 1 種情形
例：C = {1，2，7，8}

(2) C 都不含 |A∩B| = 2 的這 2 個，只有 1 種情形
例：C = {3，4，5，6}

(3) C 只含 |A∩B| = 2 這 2 個的其中 1 個，有 C(2，1) * C(2，1) * C(2，1) * C(2，1) = 16 種情形
第 1 個 C(2，1) 是從 |A∩B| = 2 的這 2 個元素 (例：{1，2}) 取 1 個
第 2 個 C(2，1) 是從 A 中非 |A∩B| = 2 的其餘 2 個元素 (例：{3，4}) 取 1 個
第 3 個 C(2，1) 是從 B 中非 |A∩B| = 2 的其餘 2 個元素 (例：{5，6}) 取 1 個
第 4 個 C(2，1) 是從 非 A 且非 B 的 2 個元素 (例：{7，8}) 取 1 個
例：C = {1，3，5，7}

所求 = 70 * 36 * (1 + 1 + 16) = 45360

謝謝tsusy老師  thepiano老師！