請問老師們，填充7、9、10。

114.04.22 學校官方公告更正答案：
一、填充題、第4題答案更正為(18-6√2)/7

第 7 題
完全平方數：(1)、(4)、(2，3，6)
所求 = (2^3 - 1) / (2^7 - 1) = 7/127

第9題
先求B對L的對稱點B'(3,2,-1)
因為切線的性質，P為直線AB'與L的交點
故P(4/3 , 5/3 , 5/3)

第10題
令 \(\displaystyle \int_{1}^{3} |f(x)| dx=k\)，
所以\(f(x)=-x+k\)，即 \(|f(x)|=|x-k|\)
因此，\(\displaystyle \int_{1}^{3} |x-k| dx=k\)
將\(k\)值分三類討論：
(1)\(k<1\)
\(\int_{1}^{3} (x-k) dx=k\)，得\(k=\frac{4}{3}\) (不合)
(2)\(1\leq k <3\)
\(\int_{1}^{k} (k-x) dx +\int_{k}^{3} (x-k) dx=k\)，得\(k=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\)
(3)\(k\geq 3\)
\(\int_{1}^{3} (k-x) dx=k\)，得\(k=4\)

由上可得，\(k=4\)或\(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\)
故\(f(2)=2\)或\(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-22 05:22 編輯 ]

1.
\(\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2+2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{1\cdot 2+2\cdot 3+\ldots+n(n+1)}+\ldots=\)　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

8.
設實數\(a\)、\(b\)滿足\(\cases{a^3+3a^2+3a=7\cr b^3+3b^2+3b=-9}\)，則\(a+b\)的值為　　　。

謝謝兩位老師！理解了！
第10題我第一個範圍k算出來是7/6！

想請教填充題第2、5

學校有更正答案
填充題第 4 題答案更正為 (18-6√2)/7
https://www.wlsh.tyc.edu.tw/p/406-1000-39426,r80.php?Lang=zh-tw

weiye 註：附檔的更正版答案檔案，已移至本討論串首篇，方便往後網友們下載。

2.L1直線=PQ直線=>(4,4,6),(t,2t,3t),(s,-3-2s,4+2s)共線
兩兩相減向量成比例，可解出t=1,s=-2

5.所有角落加總為一個內切球半徑為1的正四面體的表面積,
易求得小四面體邊長為2sqrt(6)=>表面積24sqrt3

其餘6條稜有兩片長方型
大四面體邊長6sqrt(6)-小四面體邊長2sqrt(6)=4sqrt(6)
小四面體底面重心到邊長距離=sqrt(2)
6*2*4sqrt(6)*sqrt(2)=96sqrt3

第 5 題
先考慮半徑為 1 的球 O，內切於正四面體 D-ABC
易知 D-ABC 的高為 4，邊長為 2√6

球心 O 在 △ABC 上的投影點是其重心 G
作 GM 垂直 AB 於 M
則 GM = √2，AM = BM = √6

當正四面體 D-ABC 擴大為邊長 6√6 時，球心的投影點與正四面體的邊保持最小距離 √2
而投影點的運動軌跡是 △ABC 內一個邊長 6√6 - √6 * 2 = 4√6 的正三角形

由於有四個面
所求 = (√3/4)[(6√6)^2 - (4√6)^2] * 4 = 120√3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-22 08:39 編輯 ]

謝謝兩位老師~