1.
設\(x\in R\)，求\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-6x+10}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)的最大值為
。
7.
求滿足\((a+bi)^{2002}=a-bi\)的實數數對\((a,b)\)有
組。
Find the number of ordered pairs of real numbers \((a,b)\) such that \((a+bi)^{2002} = a-bi\).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12A，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
8.
已知\(f(x)=x^2+6x+1\)，令符合兩條件\(f(x)+f(y)\le 0\)與\(f(x)-f(y)\le 0\)之點\((x,y)\)所成的集合為\(R\)，則區域\(R\)的面積為
。
若 \( f(x)=5－6x＋x^2 \)，求滿足 \( f(x)+f(y)\leq 0\) 及 \( f(x)－f(y)\geq 0\) 的 \(P(x, y)\) 所表區域面積 。
(98彰化女中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=4#pid4233)
10.
計算\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2025}\frac{2^{-k}+1}{2^{-2k}-2^{-k+1}+2^{k+1}-1}=\)
。
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
[解答]
以Gemini 2.5 Pro(experimental)計算，指令為"請計算這個題目,並列出計算過程和答案"，以下為回應結果
好的，我們來計算這個題目。
題目：
計算\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2025} \frac{2^{-k} + 1}{2^{-2k} - 2^{-k+1} + 2^{k+1} - 1}\)
計算過程：
1. 化簡分式中的項：
令\(\displaystyle a_k = \frac{2^{-k} + 1}{2^{-2k} - 2^{-k+1} + 2^{k+1} - 1}\)。 我們先化簡分母。
分母\(D = 2^{-2k} - 2^{-k+1} + 2^{k+1} - 1\)
\(D = (2^{-k})^2 - 2 \cdot 2^{-k} + 2 \cdot 2^k - 1\)
為了更容易觀察，令\(x = 2^k\)，則\(2^{-k} = \frac{1}{x}\)。
分母\(\displaystyle D = (\frac{1}{x})^2 - 2(\frac{1}{x}) + 2x - 1\)
\(\displaystyle D = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 2x - 1\)
將分母通分：
\(\displaystyle D = \frac{1 - 2x + 2x^3 - x^2}{x^2} = \frac{2x^3 - x^2 - 2x + 1}{x^2}\)
因式分解分子\(2x^3 - x^2 - 2x + 1\)：
我們可以發現\(x=1\)是根 (\(2-1-2+1=0\))， \(x=-1\)是根 (\(-2-1+2+1=0\))， \(x=1/2\) 是根 (\(2(1/8) - (1/4) - 2(1/2) + 1 = 1/4 - 1/4 - 1 + 1 = 0\))。
所以分子可以分解為\(\displaystyle 2(x-1)(x+1)(x - \frac{1}{2}) = (x-1)(x+1)(2x-1)\)。
檢查：\((x^2-1)(2x-1) = 2x^3 - x^2 - 2x + 1\)。正確。
所以分母\(\displaystyle D = \frac{(x-1)(x+1)(2x-1)}{x^2}\)。
代回\(x=2^k\)：
\(\displaystyle D = \frac{(2^k - 1)(2^k + 1)(2 \cdot 2^k - 1)}{(2^k)^2} = \frac{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)}{2^{2k}}\)
現在看分子\(\displaystyle N = 2^{-k} + 1 = \frac{1}{2^k} + 1 = \frac{1 + 2^k}{2^k}\)。
因此，分式 \(\displaystyle a_k = \frac{N}{D} = \frac{(1 + 2^k)/2^k}{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)/2^{2k}}\)
\(\displaystyle a_k = \frac{1 + 2^k}{2^k} \cdot \frac{2^{2k}}{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)}\)
\(\displaystyle a_k = \frac{(1 + 2^k) \cdot 2^k}{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)}\)
消去\((1 + 2^k)\)項：
\(\displaystyle a_k = \frac{2^k}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\)
2. 裂項（部分分式分解）：
觀察分子\(2^k\)和分母中的兩項\((2^k - 1)\)和\((2^{k+1} - 1)\)。
注意到\((2^{k+1} - 1) - (2^k - 1) = (2 \cdot 2^k - 1) - (2^k - 1) = 2 \cdot 2^k - 1 - 2^k + 1 = 2^k\)。
這正好是分子！
所以我們可以將\(a_k\)分解為：
\(\displaystyle a_k = \frac{(2^{k+1} - 1) - (2^k - 1)}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\)
\(\displaystyle a_k = \frac{2^{k+1} - 1}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)} - \frac{2^k - 1}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\)
\(\displaystyle a_k = \frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1}\)
3. 計算級數和（利用裂項求和法）：
級數和\(\displaystyle S = \sum_{k=1}^{2025} a_k = \sum_{k=1}^{2025} \left( \frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1} \right)\)
這是一個伸縮級數（或稱對消級數、裂項級數）。將級數展開：
\(\displaystyle S = \left( \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^2 - 1} \right)\) \((k=1)\)
\(\displaystyle + \left( \frac{1}{2^2 - 1} - \frac{1}{2^3 - 1} \right)\) \((k=2)\)
\(\displaystyle + \left( \frac{1}{2^3 - 1} - \frac{1}{2^4 - 1} \right)\) \((k=3)\)
\(\ldots\)
\(\displaystyle + \left( \frac{1}{2^{2025} - 1} - \frac{1}{2^{2026} - 1} \right)\) \((k=2025)\)
中間的項互相抵消：\(\displaystyle -\frac{1}{2^2-1}\)與\(\displaystyle +\frac{1}{2^2-1}\) 抵消，依此類推，直到\(\displaystyle -\frac{1}{2^{2025}-1}\)與\(\displaystyle +\frac{1}{2^{2025}-1}\)抵消。
剩下的項是第一項的第一部分和最後一項的第二部分：
\(\displaystyle S = \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
\(\displaystyle S = \frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
\(\displaystyle S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
\(\displaystyle S = 1 - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
4. 最終結果：
將結果合併為一個分數：
\(\displaystyle S = \frac{(2^{2026} - 1) - 1}{2^{2026} - 1}\)
\(\displaystyle S = \frac{2^{2026} - 2}{2^{2026} - 1}\)
答案：
計算結果為\(\displaystyle 1 - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)或\(\displaystyle \frac{2^{2026} - 2}{2^{2026} - 1}\)。
