引用:
原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表 
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。
計算第1題
第(1)題
分別以遞迴關係式化簡左右式
\(a_{n+2}-a_{n+1}=(\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2)-a_{n+1}=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2-a_{n+1}+\frac{5}{8}\)
\(-b_{n}(a_{n+1}-a_{n})
=-\frac{1}{2}(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n})\)
\(=-\frac{1}{2}((a_{n+1})^2-(a_{n})^2)
=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2+\frac{1}{2}(a_{n})^2\)
\(=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2+(\frac{5}{8}-a_{n+1})
=-\frac{1}{2}(a_{n+1})^2-a_{n+1}+\frac{5}{8}\)
第(2)題
檢查\(n=1，0<a_{1}<\frac{5}{8}\)成立
設\(n=k\)成立，即\(0<a_{k}<\frac{5}{8}\)
化簡，得\(\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(\frac{5}{8})^2<\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{k})^2<\frac{5}{8}-0^2\)
即\(0<\frac{55}{128}<a_{k+1}<\frac{5}{8}\)
所以\(n=k+1\)成立
由數學歸納法得證
第(3)題
因為\(a_{n+1}-a_{n}
=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-a_{n}
=-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{5}{2})\)
又由(2)知，\(\frac{5}{2}<a_{n}+\frac{5}{2}<\frac{25}{8}\)
所以\(\frac{5}{4}|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|<\frac{25}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|\)
故\(|a_{n}-\frac{1}{2}|<|a_{n+1}-a_{n}|\)
第(4)題
因為\(a_{n+1}-\frac{1}{2}
=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}(a_{n})^2-\frac{1}{2}
=-\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{1}{2})(a_{n}+\frac{1}{2})\)
又由(2)知，\(\frac{1}{2}<a_{n}+\frac{1}{2}<\frac{9}{8}\)
所以\(|a_{n+1}-\frac{1}{2}|<\frac{9}{16}|a_{n}-\frac{1}{2}|\)
故\(|a_{n}-\frac{1}{2}|\)會收斂到\(0\)，即\(a_{n}\)收斂到\(\frac{1}{2}\)
若有疏漏、誤植，再請提醒指正。感謝
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本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 09:24 編輯 ]
