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例題:試證明對於自然數k,若2^k-1為質數,則k必為質數。

例題:試證明對於自然數k,若2^k-1為質數,則k必為質數。

引用:
試證明對於自然數k,若2^k-1為質數,則k必為質數。
若 k  為合數,設 k = m*n (正整數 m,n>1)

令 2^m = t



2^k - 1 = 2^(m*n) - 1

     = t^n -1

     = (t - 1)(t^(n-1) + t^(n-2)+...+t+1)

其中

t - 1 = 2^m -1 ≧ 2^2 -1 = 3 >1



t^(n-1) + t^(n-2)+...+t+1 ≧ t + 1 = 2^2 + 1 >1

故 2^k - 1 為合數,矛盾,

因此,若 2^k - 1 為質數,則 k 必為質數。




原討論串:http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34589

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