113臺北市立復興高中

一、填充題
1.
函數f(x)為49次多項式，f(k)=k1，k=12350皆成立，則f(−2)=　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

5.
袋中有紅球5個、白球3個、黑球4個，若每球被選取的機會均等，今每次由袋中取一球，取後不放回，取完為止，則黑球最先取完的機率為　　　。
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

二、計算證明題
2.
將一列7個小方格最左邊的黑棋向右移動到最右邊的小方格，每次移動1格或2格：
(1)共有　　　種將黑棋最左格移動到最右格的移動方法。
(2)假設(1)中的每一種移動方法的機會均等，則「移動次數」的期望值為　　　次。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=9#pid7212

想請問填充7和計算一，謝謝！

計算1&填充7

補充一下反方陣的靈感來源，不然直接蹦出那麼複雜的方陣，不是很直觀。下面用英文寫：
Since Im−AB is invertible, there exists an mm matrix C such that  (Im−AB)C=C(Im−AB)=Im,
hence, ABC=CAB.
So,In−BA=In−B(Im−AB)CA=In−BCA+B(ABC)A=In−BCA+B(CAB)A=In−(BCA−BCABA)=In−BCA(In−BA),
therefore, In−BA=In−BCA(In−BA).
This implies (In−BA)+BCA(In−BA)=In, so we get (In+BCA)(In−BA)=In.
Finally, check (In−BA)(In+BCA)=In to  get the conslusion.

Furthermore, substitute C with (Im−AB)−1, we get (In−BA)−1=(In+B(Im−AB)−1A)

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-7-1 23:19 編輯 ]

感謝 swallow7103 (一開始，我是用湊的，所以一直在等高手來幫忙解答)，謝謝啦!!!!

第 8 題
取 EF 中點 M
ME = MA = MD = 1
MF = MB = MC = 1
M-ADE 和 M-BCF 都是邊長為 1 的正四面體

M-ABCD 是底面邊長 1 的正方形，高 √2/2 的四角錐

所求即這 3 個型體的體積和

謝謝老師的教學，我懂第8題了，感謝 ^^

第 6 題
AB = x，AC = 15/x
角平分線 AD = √(AB * AC - BD * CD) = 3
BD * CD = 6
BD = y，CD = 6/y

x / (15/x) = y / (6/y)
y = (√10/5)x
BC = (√10/5)x + (3√10)/x

用餘弦定理可求出 cosA = [(3/5)x^2 + 135/x^2 - 12]/30 >= (18 - 12)/30 = 1/5
△ABC = (1/2) * 15 * √[1 - (cosA)^2] <= (15/2) * (2/5)√6 = 3√6

這題考填充，一定很多人會猜 AB = AC，考計算會好一點

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-7-3 21:38 編輯 ]