113臺北市立復興高中

一、填充題
1.
函數\(f(x)\)為49次多項式，\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,50\)皆成立，則\(f(-2)=\)　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

5.
袋中有紅球5個、白球3個、黑球4個，若每球被選取的機會均等，今每次由袋中取一球，取後不放回，取完為止，則黑球最先取完的機率為　　　。
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html

二、計算證明題
2.
將一列7個小方格最左邊的黑棋向右移動到最右邊的小方格，每次移動1格或2格：
(1)共有　　　種將黑棋最左格移動到最右格的移動方法。
(2)假設(1)中的每一種移動方法的機會均等，則「移動次數」的期望值為　　　次。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=9#pid7212

想請問填充7和計算一，謝謝！

計算1&填充7

補充一下反方陣的靈感來源，不然直接蹦出那麼複雜的方陣，不是很直觀。下面用英文寫：
Since \( I_m -AB \) is invertible, there exists an \(m \times m \) matrix \( C\) such that  \( ( I_m-AB) C=C( I_m-AB) =I_m\),
hence, \(ABC=CAB\).
So,\( I_n -BA=I_n - B(I_m -AB)CA = I_n - BCA + B(ABC)A = I_n - BCA + B(CAB)A=I_n - (BCA- BCABA) = I_n - BCA(I_n- BA) \),
therefore, \( I_n -BA=I_n - BCA(I_n- BA) \).
This implies \( (I_n -BA)+ BCA(I_n- BA)=I_n \), so we get \( (I_n + BCA)(I_n -BA)=I_n \).
Finally, check \( (I_n -BA)(I_n + BCA)=I_n \) to  get the conslusion.

Furthermore, substitute \( C \) with \( \displaystyle (I_m-AB)^{-1} \), we get \(\displaystyle (I_n -BA)^{-1} = (I_n + B(I_m-AB)^{-1}A) \)

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-7-1 23:19 編輯 ]

感謝 swallow7103 (一開始，我是用湊的，所以一直在等高手來幫忙解答)，謝謝啦!!!!

第 8 題
取 EF 中點 M
ME = MA = MD = 1
MF = MB = MC = 1
M-ADE 和 M-BCF 都是邊長為 1 的正四面體

M-ABCD 是底面邊長 1 的正方形，高 √2/2 的四角錐

所求即這 3 個型體的體積和

謝謝老師的教學，我懂第8題了，感謝 ^^

第 6 題
AB = x，AC = 15/x
角平分線 AD = √(AB * AC - BD * CD) = 3
BD * CD = 6
BD = y，CD = 6/y

x / (15/x) = y / (6/y)
y = (√10/5)x
BC = (√10/5)x + (3√10)/x

用餘弦定理可求出 cosA = [(3/5)x^2 + 135/x^2 - 12]/30 >= (18 - 12)/30 = 1/5
△ABC = (1/2) * 15 * √[1 - (cosA)^2] <= (15/2) * (2/5)√6 = 3√6

這題考填充，一定很多人會猜 AB = AC，考計算會好一點

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-7-3 21:38 編輯 ]