113花蓮女中
06/17 17:22 更新題目為含有計算題的

一、填充題
2.
袋中有編號12350的球各一個，今自袋中任取3球，令隨機變數X表所取出球中號碼之最大值，則X之期望值E(X)=　　　。

袋中有 2008 顆球，分別編號為 123…2008，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 T，求 T 之期望值。
(99屏東女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

3.
設f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，則f(x12)除以f(x)的餘式為　　　。

設多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，則f(x12)除以f(x)所得到的餘式為何？
(A)6　(B)5−x　(C)4−x+x2　(D)3−x+x2−x3
(94台南縣國中聯招，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

4.
設函數f(xy)=x2−xy+y2+2x−3y+5，當數對(xy)=　　　時，f(xy)有最小值。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

6.
在銳角ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值為　　　。
百度文章，連結有解答https://zhidao.baidu.com/questio ... 0%E5%B0%8F%E5%80%BC

二、計算證明題
5.
設m、n為整數，且mn0，則滿足m3+n3+93mn=313的序對(mn)有多少組？
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

老師我想請問第七題

想問第五題～謝謝！！

第五題
設複數z為方程式x4+42x3i−12x2−82xi−4i=0 之根(其中i=−1 )，則z+2i= 　　　。
[解答]
化簡得，(x+\sqrt{2}i)^4=4+4i
所以，|z+\sqrt{2}i|^4=4\sqrt{2}
|z+\sqrt{2}i|=2^{\frac{5}{8}}

第7題
設坐標空間中有一平面E：6x-2y-3z+7=0，而E上有四點O,A,B,C，與法向量\vec{n}=(6,-2,-3)。而E,O,A,B,C,\vec{n}的相對位置如示意圖，其中\Delta OAB,\Delta OBC,\Delta OCA的面積分別為14,7,42，且\vec{OA}=(a_1,a_2,a_3),\vec{OB}=(b_1,b_2,b_3),\vec{OC}=(c_1,c_2,c_3)，則\left|\ \matrix{4&a_1&a_2\cr 5&b_1&b_2 \cr 2&c_1&c_2}\right|\ =　　　
[解答]
因為|n|=7
所以OA×OB=4n=(24,-8,-12)，OB×OC=2n=(12,-4,-6)，OC×OA=12n=(72,-24,-36)
因此， \left| \begin{array} {cc} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{array} \right|=-12， \left| \begin{array} {cc} b_1&b_2\\ c_1&c_2 \end{array} \right|=-6， \left| \begin{array} {cc} c_1&c_2\\ a_1&a_2 \end{array} \right|=-36，

所求＝(4,5,2)．(-6,-36,-12)＝-228

(抱歉，省略向量符號)

想問老師們計算2.4.6.7，謝謝！！

謝謝老師！！

#計算2
設f(x)=(x-a)(x-2021)+1，g(x)=(x-b)(x-c)，其中a、b、c為整數。若[f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0，試求f(2024)之值。
[解答]
\displaystyle [f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0 推得 f(2022)-g(2022)=0、f(2023)-g(2023)=0，
考慮 h(x)=f(x)-g(x) ，由題目第一句話可知 deg(h(x))=deg(f(x)-g(x)) <2 ，
又 h(x)=0 有 2022、2023等兩根，表示 h(x)=0 。
復比較f(x)、g(x) 係數可得：a+2021=b+c、2021a+1=bc，故 2021(b+c-2021)+1=bc，整理可得(b-2021)(c-2021)=1。
因為b,c,a為整數，故(b,c,a)=(2020,2020,2019)或(2022,2022,2023)。
所以 f(x)=(x-2019)(x-2021)+1 或f(x)=(x-2023)(x-2021)+1，剩下就自己算吧，答案是16或4。

計算第 4 題
試證明a、b的方程式2^a-3^b=1恰有二組非負整數解。
[解答]
(1) a = 1，b = 0
(2) a = 2，b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數，3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數，3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解

負整數部分就不寫了