113花蓮女中
06/17 17:22 更新題目為含有計算題的

一、填充題
2.
袋中有編號12350的球各一個，今自袋中任取3球，令隨機變數X表所取出球中號碼之最大值，則X之期望值E(X)=　　　。

袋中有 2008 顆球，分別編號為 123…2008，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 T，求 T 之期望值。
(99屏東女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

3.
設f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，則f(x12)除以f(x)的餘式為　　　。

設多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，則f(x12)除以f(x)所得到的餘式為何？
(A)6　(B)5−x　(C)4−x+x2　(D)3−x+x2−x3
(94台南縣國中聯招，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

4.
設函數f(xy)=x2−xy+y2+2x−3y+5，當數對(xy)=　　　時，f(xy)有最小值。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

6.
在銳角ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值為　　　。
百度文章，連結有解答https://zhidao.baidu.com/questio ... 0%E5%B0%8F%E5%80%BC

二、計算證明題
5.
設m、n為整數，且mn0，則滿足m3+n3+93mn=313的序對(mn)有多少組？
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

老師我想請問第七題

想問第五題～謝謝！！

第五題
設複數z為方程式x4+42x3i−12x2−82xi−4i=0 之根(其中i=−1 )，則z+2i= 　　　。
[解答]
化簡得，(x+2i)4=4+4i 
所以，z+2i4=42 
z+2i=285 

第7題
設坐標空間中有一平面E：6x−2y−3z+7=0，而E上有四點OABC，與法向量n=(6−2−3)。而EOABCn的相對位置如示意圖，其中OABOBCOCA的面積分別為14742，且OA=(a1a2a3)OB=(b1b2b3)OC=(c1c2c3)，則 452a1b1c1a2b2c2 =　　　
[解答]
因為n=7
所以OA×OB=4n=(24−8−12)，OB×OC=2n=(12−4−6)，OC×OA=12n=(72−24−36)
因此，a1b1a2b2=−12，b1c1b2c2=−6，c1a1c2a2=−36，

所求＝(452)．(−6−36−12)＝−228

(抱歉，省略向量符號)

想問老師們計算2.4.6.7，謝謝！！

謝謝老師！！

#計算2
設f(x)=(x−a)(x−2021)+1，g(x)=(x−b)(x−c)，其中a、b、c為整數。若[f(2022)−g(2022)]2+[f(2023)−g(2023)]2=0，試求f(2024)之值。
[解答]
[f(2022)−g(2022)]2+[f(2023)−g(2023)]2=0推得f(2022)−g(2022)=0、f(2023)−g(2023)=0，
考慮h(x)=f(x)−g(x)，由題目第一句話可知deg(h(x))=deg(f(x)−g(x))2，
又h(x)=0有2022、2023等兩根，表示h(x)=0。
復比較f(x)、g(x)係數可得：a+2021=b+c、2021a+1=bc，故 2021(b+c-2021)+1=bc，整理可得(b-2021)(c-2021)=1。
因為b,c,a為整數，故(b,c,a)=(2020,2020,2019)或(2022,2022,2023)。
所以f(x)=(x−2019)(x−2021)+1或f(x)=(x−2023)(x−2021)+1，剩下就自己算吧，答案是16或4。

計算第 4 題
試證明a、b的方程式2^a-3^b=1恰有二組非負整數解。
[解答]
(1) a = 1，b = 0
(2) a = 2，b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數，3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數，3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解

負整數部分就不寫了