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第7題
設坐標空間中有一平面E:6x-2y-3z+7=0,而E上有四點O,A,B,C,與法向量\vec{n}=(6,-2,-3)。而E,O,A,B,C,\vec{n}的相對位置如示意圖,其中\Delta OAB,\Delta OBC,\Delta OCA的面積分別為14,7,42,且\vec{OA}=(a_1,a_2,a_3),\vec{OB}=(b_1,b_2,b_3),\vec{OC}=(c_1,c_2,c_3),則\left|\ \matrix{4&a_1&a_2\cr 5&b_1&b_2 \cr 2&c_1&c_2}\right|\ =
[解答]
因為|n|=7
所以OA×OB=4n=(24,-8,-12),OB×OC=2n=(12,-4,-6),OC×OA=12n=(72,-24,-36)
因此,
\left|
\begin{array}
{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}
\right|=-12,
\left|
\begin{array}
{cc}
b_1&b_2\\
c_1&c_2
\end{array}
\right|=-6,
\left|
\begin{array}
{cc}
c_1&c_2\\
a_1&a_2
\end{array}
\right|=-36,
所求=(4,5,2).(-6,-36,-12)=-228
(抱歉,省略向量符號)