有鑑於松山以往好像都沒有公告題目，附檔為小弟記憶之版本，有遺漏錯誤之處，再煩請各位老師補充，謝謝~！

註：pdf檔為避免超過檔案大小上限，可能有點模糊，可以參考圖片檔！

6/4更新：學校已公告填充題題目與答案，如附檔。

1.
一數列an中，a1=3，且滿足an+1=4+an+1+16an ，求數列一般項an=？

數列an滿足a1=1、an+1=116(1+4an+1+24an) ，求此數列的一般項an。
(109中科實中國中部，連結解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480)

9.
求limnnk=1kn21−kn2= ？

二、計算題
3.
已知ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，ABC的內切圓分別交ABBCAC於DEF三點，若令AD=xBE=yCF=z
(1)試證明：x=2b+c−ay=2a+c−bz=2a+b−c
(2)證明：abc(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)．並說明等號成立時，ABC為正三角形。

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謝謝老師

113.6.4版主補充
官方題目統一由第一篇下載，此篇題目先行移除

第 2 題
設f(x)為定義在區間(0)上的嚴格遞增函數，且對任意的x0，f(x)f(x1+f(x))=1均成立，試求f(1)=？
[解答]
f(x) * f(1/x + f(x)) = 1
f(1) * f(1 + f(1)) = 1
令 f(1) = k
k * f(1 + k) = 1
f(1 + k) = 1/k

f(1 + k) * f(1/(1 + k) + f(1 + k)) = 1
f(1/(1 + k) + 1/k) = k = f(1)
1/(1 + k) + 1/k = 1
k = (1 + √5)/2 或 (1 - √5)/2

當 k = (1 + √5)/2，f(1 + k) = 2/(1 + √5) < 1 < k = f(1)，不合

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-6-4 12:35 發表
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謝謝老師

#8
坐標平面上，橢圓1：mx2+ny2=1與雙曲線2：px2+qy2=1有共同的焦點(20)(−20)，且橢圓1的短軸長度和雙曲線2的貫軸長度相等，試求行列式\left| \matrix{m&n\cr p&q}\right|的值。
[解答]
n=p , 2c=4,c=2
m=n+2² =p+4
p-q=4 ,q=p-4
所求=m*q-n*p=(p+4)(p-4)-p² = -16

10.
設y=sinx的圖形與x軸、直線\displaystyle x=\frac{\pi}{4}、直線\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}所圍成的區域繞x軸旋轉所得的旋轉體為S，試求旋轉體S的體積。
[解答]

3.
設矩陣A=\left[a_{ij}\right]_{2\times 2},B=\left[b_{ij} \right]_{2\times 2}中各元皆為0或1，試問相乘所得AB共有多少種可能？
[解答]
因為 \det(AB)=\det(A)\det(B)，
因此 \det(AB) 可能取值 -1,0,1，
對於 AB 的每一元只能取值 0,1,2，
若主對角線乘積為 4，則有 1 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 2，則有 3 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 1，則有 8 種副對角線取值 ；
若主對角線乘積為 0，則有 6 種副對角線取值 ；
因此共有 1+2\times3+5\times6+8=45 種不同的AB

A,B皆為n階方陣，若(A+B)為可逆方陣，證明：A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A。
[解答]
由 (A+B)^{-1}(A+B)=I_n ，推知 (A+B)^{-1}A+(A+B)^{-1}B=I_n ，等式兩邊左乘A，得 A(A+B)^{-1}A+A(A+B)^{-1}B=A ...(1)
由 (A+B)(A+B)^{-1}=I_n ，推知 A(A+B)^{-1}+B(A+B)^{-1}=I_n ，等式兩邊右乘A，得 A(A+B)^{-1}A+B(A+B)^{-1}A=A ...(2)

由(1)及(2)， A(A+B)^{-1}B =A-A(A+B)^{-1}A=B(A+B)^{-1}A

第1題：
已知數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=3，且對任意正整數n均有a_{n+1}=4+a_n+\sqrt{1+16a_n}，則數列的一般式a_n=？
[解答]
\begin{array}{l} {a_2} = 4 + {a_1} + \sqrt {1 + 16{a_1}}  = 4 + 3 + 7 = 14\\ {a_3} = 4 + {a_2} + \sqrt {1 + 16{a_2}}  = 4 + 14 + 15 = 33\\ {a_4} = 4 + {a_3} + \sqrt {1 + 16{a_3}}  = 4 + 33 + 23 = 60\\ {a_5} = 4 + {a_4} + \sqrt {1 + 16{a_4}}  = 4 + 60 + 31 = 95 \end{array}
注意到7,15,23,31成等差，因此可得

{a_n} = 4 + {a_{n-1}} + (8n-9)  = a_{n-1} + 8n-5

則可得

\begin{array}{l} {a_1} = 3\\ {a_2} = {a_1} + 11\\ {a_3} = {a_2} + 19\\ {\rm{     }} \vdots \\ {a_n} = {a_{n - 1}} + (8n - 5) \end{array}

連加可得
{a_n} = \displaystyle{\frac{{[3 + (8n - 5)] \times n}}{2}} = 4{n^2} - n

1.
已知數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=3，且對任意正整數n均有a_{n+1}=4+a_n+\sqrt{1+16a_n}，則數列的一般式a_n=？
[解答]

請問第 7 題