計算 1.
不失一般性假設
f(x)=a(x−
)(x−
)(x−
)，其中
a\neq0, \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}
因此
f(g(x))=0\Leftrightarrow(g(x)-\alpha)(g(x)-\beta)(g(x)-\gamma)=0
歸謬地假設 1,2,3,5,6,7,9,10,11 均為
f(g(x))=0 之解。
注意到
f(g(x)) 為 9 次多項式，故
f(g(x))=0 之解為此 9 相異實根。
因此
\alpha,\beta,\gamma 均為實數、兩兩相異且
g(x)-\alpha=0, g(x)-\beta=0, g(x)-\gamma=0 均有三相異實根
(若相同，則
f(g(x))=0 必有重根，若
\alpha 為虛數，則
g(x)-\alpha=0 無實根。)
不失一般性假設
\alpha<\beta<\gamma 。
(1) 若
g(x) 的領導係數為正，
y=g(x), y=\alpha, y=\beta, y=\gamma 在坐標平面上的圖形如下圖所示：
因此
g(x)-\alpha=0 的三根為 1,7,9、
g(x)-\beta=0 的三根為 2,6,10、
g(x)-\gamma=0 的三根為 3,5,11
而由根與係數關係可得
1+7+9=2+6+10=3+5+11 ，但此三式並不相等，而得矛盾。
(2) 當
g(x) 的領導係數為負時，同理可得矛盾。
故假設錯誤，即原命題得證。
