請問計算四(2)
看了很久，還是不知道從哪作起

------附上已經解出的四(1)------

計算第 4(2) 題
r = (AC + BC - AB) / 2 = (AE + BH - AB) / 2 = HE / 2 = (r_1 + r_2) / 2

謝謝鋼琴老師，太神了！

整理了填充題解答 供參

想請教一下計算1跟3的做法，謝謝

另外想請問計算2，
若假設x_n+1=b_n+1 / a_n+1
得到x_n+1=2/x_n + x_n/2
後面可以用算幾不等式得極限值是2嗎?

計算2. 算幾不等式只能得到"下界"，極限值還是需要極限的定義或收斂的性質。

計算3. 6−2y=(x+y−3)2+z20  y3
又題意限制在第一卦限之中，故可取 P0(000)Pn(030)

平面 E:y=t   與錐體交於 (x−(3−t))2+z2=(6−2t)2 且 y=t
為平面 E 上的一個圓，其圓心 (3−tt0) 半徑 6−2t
其在第一卦限所截圖形如下圖：

mathpro_pic.png (9.81 KB)

2024-6-17 13:26

圖形由一個 三分之一圓和直角三角形(三內角 30°,60°,90°) 組成

故此截面在第一卦限的面積為 31(6−2t)2+21(3−t)3(3−t) 

故以切片法表示的黎曼和可為
nk=1n331(6−n6k)2+23(3−n3k)2 

所求體積為 0331(6−2y)2+23(3−y)2dy=12+293 
(有點醜，不知道有沒有計算錯誤)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-6-18 08:38 編輯 ]

非常感謝寸絲老師的回覆。我需要花點時間研究一下計算3。
請問計算第2題，我還是需要求出b_n / a_n的一般項才可以求得極限值嗎?!還是有其他的方式可以求呢?

計算第 2 題：

令 cn=anbn，則

cn+1=an+1bn+1=2anbn4a2n+b2n=2cn+2cn

且 c1=a1b1=730，

對任意正整數 n，恆有 cn0 且 cn+1=2cn+2cn22cn2cn=2  。

對任意大於 2 的正整數 n ，恆有 cn+1−cn=2cn+2cn−cn=2cn22−c2n0 ，即 cn+1cn。

因為 c2c3c4c5 是遞減且有下界的數列，可得 cn 數列收斂，即  anbn  數列收斂。

因為非負數列  cn 收斂，可令 x=limncn0，則

limncn+1=limn2cn+2cn=2limncn+2  limncn 

  x=x2+x2x=2（負不合）。

故 limncn=2，即 limnanbn=2 。

原來後面是要這樣證的，非常謝謝瑋岳老師回覆。

計算 1.
不失一般性假設 f(x)=a(x−)(x−)(x−)，其中 a=0C

因此 f(g(x))=0(g(x)−)(g(x)−)(g(x)−)=0

歸謬地假設 1,2,3,5,6,7,9,10,11 均為 f(g(x))=0 之解。

注意到 f(g(x)) 為 9 次多項式，故 f(g(x))=0 之解為此 9 相異實根。

因此 均為實數、兩兩相異且 g(x)−=0g(x)−=0g(x)−=0 均有三相異實根

(若相同，則 f(g(x))=0 必有重根，若 為虛數，則 g(x)−=0 無實根。)

不失一般性假設 。

(1) 若 g(x) 的領導係數為正，y=g(x)y=y=y= 在坐標平面上的圖形如下圖所示：

mathpropic.png (17.93 KB)

2024-6-17 19:56

因此 g(x)−=0 的三根為 1,7,9、 g(x)−=0 的三根為 2,6,10、 g(x)−=0 的三根為 3,5,11

而由根與係數關係可得 1+7+9=2+6+10=3+5+11，但此三式並不相等，而得矛盾。

(2) 當 g(x) 的領導係數為負時，同理可得矛盾。

故假設錯誤，即原命題得證。