計算 1.
不失一般性假設
f(x)=a(x−
)(x−
)(x−
),其中
a
=0





C
因此
f(g(x))=0
(g(x)−
)(g(x)−
)(g(x)−
)=0
歸謬地假設 1,2,3,5,6,7,9,10,11 均為
f(g(x))=0 之解。
注意到
f(g(x)) 為 9 次多項式,故
f(g(x))=0 之解為此 9 相異實根。
因此





均為實數、兩兩相異且
g(x)−
=0
g(x)−
=0
g(x)−
=0 均有三相異實根
(若相同,則
f(g(x))=0 必有重根,若

為虛數,則
g(x)−
=0 無實根。)
不失一般性假設





。
(1) 若
g(x) 的領導係數為正,
y=g(x)
y=
y=
y=
在坐標平面上的圖形如下圖所示:
因此
g(x)−
=0 的三根為 1,7,9、
g(x)−
=0 的三根為 2,6,10、
g(x)−
=0 的三根為 3,5,11
而由根與係數關係可得
1+7+9=2+6+10=3+5+11,但此三式並不相等,而得矛盾。
(2) 當
g(x) 的領導係數為負時,同理可得矛盾。
故假設錯誤,即原命題得證。