2.
已知空間中一點\(P(7,1,\sqrt{15})\)，點\(Q\)為\(x\)軸上一動點，點\(R\)為\(y軸上一動點\)，試求三角形\(PQR\)周長的最小值。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

請問 1,4,9,10

第九題
證明下列級數收斂或發散
(1)\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}ln n}\)　(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{(2n+5)^n}\)
[解答]
\[(1)原式= \frac{1}{\sqrt{2}ln2} + \frac{1}{\sqrt{3}ln3} + \frac{1}{\sqrt{4}ln4} + \frac{1}{\sqrt{5}ln5}+ ...  > \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{5}}+...
= \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... ，故級數發散。\]

\[(2)原式 = \frac{7}{7}+\frac{7}{9^2}+\frac{7}{11^3}+\frac{7}{13^4}+... =7(\frac{1}{7}+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{13^4})<7(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4}+...)=7*\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{49}{6}，故級數收斂。 \]

後記：有關級數或數列收斂，可以參考大一微積分課本的相關章節，如果對這邊夠熟應該會有體會，雖然有各式各樣的級數審斂法(Integral test、root test、ratio test...)，但原理仍是積分或等比級數。大致上可分兩類：交錯級數和非交錯級數。如果是交錯級數，只要每一項絕對值遞減且趨近於零，就會收斂。非交錯級數(假設每一項都是正數)，只要能找到一個收斂的積分或等比級數把原式bound住，就會收斂；反之若能找到一個被原式bound的發散積分或等比級數，那就發散。

第 1 題
從\(\displaystyle sin\frac{2\pi}{7},sin\frac{4\pi}{7},sin\frac{6\pi}{7},sin\frac{8\pi}{7},sin\frac{10\pi}{7},sin\frac{12\pi}{7}\)中任選四項相乘，試求所有這些乘積的總和。
[解答]
sin7θ = -64(sinθ)^7 + 112(sinθ)^5 - 56(sinθ)^3 + 7sinθ

以 sin(2π/7)、sin(4π/7)、sin(6π/7)、sin(8π/7)、sin(10π/7)、sin(12π/7) 為六根的方程式為
-64x^6 + 112x^4 - 56x^2 + 7 = 0
所求 = (-56)/(-64) = 7/8

第 4 題
在\(4\times 4\)的方格中隨機挑選8格，令隨機變數\(X\)為被挑選格子所佔滿的直行與橫列總數。試求\(X\)的期望值。
[解答]
先選 1 直行或 1 橫列，有 8 種選法，再從剩下的 12 格中挑 4 格，有 C(12，4) 種方法
所求  = 8 * C(12，4) / C(16，8)

謝謝鋼琴老師、swallow7103老師回覆

想問這題

我圖形畫出來感覺有誤

113桃聯3
試求\((C_2^2+C_2^3x+C_2^4x^2+C_2^5x^3+C_2^6x^4+C_2^7x^5)^4\)展開式中\(x^5\)的係數。
[解答]

填充 2.
已知空間中一點\(P(7,1,\sqrt{15})\)，點\(Q\)為\(x\)軸上一動點，點\(R\)為\(y\)軸上一動點，試求三角形\(PQR\)周長的最小值。
[解答]
我的作法也一樣，但做完發現線段 \( \overline{C'D'} \) 不過第一象限

共線時，在 \( \overline{C'D'} \) 上，點的順序為 \( C', B, A, D' \)

此時 \( \overline{C'A} + \overline{AB} + \overline{BD'} = \overline{C'D'} + \overline{AB} \)
不會等於 \( \overline{C'D'} \)

猜測是 \( a=b=0 \) 時，是下確界 \( 2\sqrt{65} \)

題意要求三角形，若猜測是對，此題最小值不存在。