想請教一下第8題，謝謝

L2上找一點H，使得向量PH垂直L2的方向向量
利用內積等於0的關係
可以解出以t表示的線段PH平方值，此為正三角形高的平方
再利用正三角形面積是1／√3倍 高的平方
便可以寫出以t表示的正三角形面積

謝謝老師，我寫出來了!

想請教一下第10題的想法，這樣想不知道對不對?

設ΔB1A1O面積=x
然後把sin2θ和cos2θ用x表示
再利用ΔB2A2O面積=120解出x=156

應該還有一解 65

謝謝鋼琴老師，我知道我漏掉哪邊了

第10題 先國中解法算出\( \Delta B_2A_2O \)的底跟高，再用三角函數定義及sin兩倍角求\( \Delta B_1A_1O \)面積。
設\( B_2O=a、A_2O=b \)，由題意可得\( a^2+b^2=676、ab=240 \)，將\( a=\frac{240}{b}\)代入第一式可推得\(b^4-676b^2+240^2=0 \)
即\( (b^2-100)(b^2-576)=0\)，故 b=10 or 24。

設\( \angle B_1A_1O=\theta\)，則\( \angle B_2A_2O=2\theta\)，因\( \Delta B_2A_2O \)的(底,高)可能為(10,24) 及(24,10)，
故\( sin 2\theta=\frac{10}{26} 或 \frac{24}{26} \)。

綜上，因為 \( \Delta B_1A_1O =\frac{1}{2}*B_1O*A_1O =0.5*26cos\theta*26sin\theta=169*sin2\theta\)，故所求面積可能為156或65。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 09:58 編輯 ]

這解法實在漂亮，不過蠻跳的，要花點文字解釋不然很難讀懂，以下提供一個比較直觀的解法。
策略是要列遞迴式，作成轉移矩陣後觀察前幾項應該會發現規律，就可以寫答案了，有時間可以再用數學歸納法證明。
設\( p_n\)為\(S_n\)除以3餘1的機率，\( q_n\)為\(S_n\)除以3餘2的機率，\( r_n\)為\(S_n\)除以3餘0的機率。易知\( p_1=\frac{3}{7}、q_1=\frac{2}{7}、r_1=\frac{2}{7}\)。\[ 設 X_n=\left[\begin{matrix} p_n \\ q_n \\ r_n  \end{matrix}\right]  ，由題意可得X_n=\left[\begin{matrix} p_n \\ q_n \\ r_n  \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7}  \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}  \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} p_{n-1} \\ q_{n-1} \\ r_{n-1}  \end{matrix}\right] ，X_1=\left[\begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right] \]
小心計算後，可得
\[ X_1=\left[\begin{matrix} \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right] 、X_2=\left[\begin{matrix} \frac{16}{49} \\ \frac{17}{49} \\ \frac{16}{49} \end{matrix}\right]、X_3=\left[\begin{matrix} \frac{114}{343} \\ \frac{114}{343} \\ \frac{115}{343} \end{matrix}\right]、X_4=\left[\begin{matrix} \frac{801}{2401} \\ \frac{800}{2401} \\ \frac{800}{2401} \end{matrix}\right] 、X_5=\left[\begin{matrix} \frac{5602}{16807} \\ \frac{5603}{16807} \\ \frac{5602}{16807} \end{matrix}\right]\]
應該可以發現規律，\( X_n \)的三個元幾乎是平均的，且當\( n=1,4,7...\) 時 \( p_n的分子是\frac{7^n+2}{3}\) ，當\( n=2,3,5,6,8,9...\) 時 \( p_n的分子是\frac{7^n-1}{3}\)。因此，
\[ p_n = \begin{cases}
\frac{7^n+2}{3*7^n} , 當 n =1,4,7,10,... \\
\frac{7^n-1}{3*7^n} ,  當 n =2,3,5,6,8,9 ...
\end{cases}\]

後記：這題也可以由對角化的或是eigenvalues(特徵值)求一般項，但計算量頗大，eigenvalues還有複數，勇者可嘗試看看。考試時遇到類似題但沒有想法，建議還是先觀察前幾項，不要直接暴力解。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 10:44 編輯 ]

填充16. 8# 的作法，有兩部分，一部分是機率和多項式係數的對應。
(我想，你問的應該都不是這個)

另一部分是係數和的部分，這部分大家比較熟悉的是：對任意多項式 \( f(x) \)，
\( f(1) \) 是各項係數和、\( \frac{f(1)+f(-1)}{2} \) 是偶數次方項(含常數項)的係數和、\( \frac{f(1)-f(-1)}{2} \) 是奇數次方項係數和。

再來則是 \( f(i) \) 的實部、虛部，會是每隔兩項的係數正負(加減)交錯的和。
跟偶數項係數和、奇數項係數和再組合起來就會得隔四項的係數和。
把取實數、虛部的部分用共軛複數的加減表示，可以得到
\( \frac{f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4} \) 為常數項、\( x^{4}, x^{8}, x^{12},\ldots \) 的係數和。
而從 \( x \) 或 \( x^2 \) 或 \( x^3 \) 開始的每 4 項的係數和也有類似的表示。

把上面的經驗，移到隔三項的情況，不難發現
令 \( \omega=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)
則有 \( \frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^{2})}{3} \) 為常數項、\( x^3, x^6, x^9, \ldots \) 的係數和

再來只要取 \( g(x) = x^2f(x) \)，對 \( g(x) \) 這個多項式使用上面的公式，就會得到 #8 的列式。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-6-16 19:42 編輯 ]

謝謝燕子老師與寸絲老師