一、填充題
1.
若整數\(n\)可使\(\displaystyle \frac{n^3+2024}{n+11}\)亦為整數，則\(n\)的最大值為
。
求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)
。
(108麗山高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=5#pid19741)
2.
平面上，在一個正方形內部(含邊界)放入6個邊長為1的正三角形，使得這6個正三角形的內部區域彼此互不重疊，則此正方形的邊長最小值為
。
\(\displaystyle s=\frac{9}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=1.901+\)
Found by Erich Friedman in 1996.
https://erich-friedman.github.io/packing/triinsqu/
6.
設二次函數\(y=x^2-6x+5\)的圖形交\(x\)軸於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是直線\(x+y=−4\)上的動點。當\(\angle APB\)有最大值時，\(\Delta ABP\)的外心坐標為
。
[解答]
在l：\( x+y-5=0 \)上找一點\( P(x,y) \)，使得點\( P(x,y) \)對\( A(1,0) \)，\( B(3,0) \)的夾角\( ∠APB為最大時 \)，P點坐標為何？(其中\( P \in \)第一象限)
(99中壢高中二招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2442)
最大視角相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=978&page=1#pid2307
設\(A(1,0),B(5,0),C(-4,0)\)
當過\(A,B\)兩點且和\(x+y=-4\)相切於\(P\)點的圓時，\(\angle APB\)有最大值(最大視角)
圓冪定理可知\(\overline{CP}^2=\overline{CA}\cdot \overline{CB}=5\times 9\)，\(\overline{CP}=3\sqrt{5}\)，\(\displaystyle P(-4+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}},-\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\)
過\(P\)點且和\(x+y=-4\)垂直的直線方程式為\(\displaystyle x-y=-4+\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
\(\Delta ABP\)的外心坐標為\(\cases{\displaystyle x=3 \cr x-y=-4+\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\)的交點\(O(3,7-3\sqrt{10})\)
二、計算、證明與論述題
3.
在數學「直線與圓」單元中提到，坐標平面上一點\(P(m,n)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\left|\frac{am+bn+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\)。請回答下列問題：
(1)請以高職一年級學生的先備知識為基礎證明上式。
(2)現有一道問題「求平面上一點\(P(1,2)\)到直線\(L\)：\(x+y=-3\)的距離。」除了使用「點到直線的距離」公式之外，請你另寫出2種給高職二年級學生的解答。
點到直線的13種證明方法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183
