113新竹高中

一、填空題
4.
同時擲兩粒公正骰子，求點數和為 5 比點數和為 7 先出現的機率為何？　　　

投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
(99桃園新進教師聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=949&page=1#pid2133)
https://math.pro/db/thread-2228-1-2.html

5.
設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積。
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973

6.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{4-3x}+\sqrt{2x-1},\frac{1}{2}\le x \le \frac{4}{3}\)，當\(x=\alpha\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，求數對\((\alpha,M)=\)　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

二、計算證明題
1.
若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(\cases{a_1=1\cr a_{n+1}=3a_n+1,n\in N}\)
(1)試求\(a_n\)的一般式　(2)證明\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k}<\frac{3}{2}\)
我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507

想請問填空2.
我的作法是很辛苦的求出cosC=(3+sqrt(13))/8
再算出sinC=(sqrt(39)-sqrt(3))/8
最後硬算cosB
想了解有沒有比較合適的做法？謝謝

第 2 題
三角形\(ABC\)中，三頂點\(A,B,C\)對面的三邊長分別為\(a,b,c\)。若\(a+c=2b\)，且角\(\displaystyle A-C=\frac{\pi}{3}\)，試求\(cosB=\)
[解答]
a + c = 2b
sinA + sinC = 2sinB
2sin[(A + C)/2]cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)cos(B/2)
2cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)
√3 = 4sin(B/2)
sin(B/2) = √3 / 4
cosB = 1 - 2[sin(B/2)]^2 = 5/8

計算2
設三正數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle ab-\frac{11}{6}b=-1\)，\(\displaystyle bc-\frac{9}{4}c=-1\)，\(\displaystyle ac-\frac{8}{3}a=-1\)，則\(c=\)　　　。
[解答]

請教一下填充10 謝謝

填充第 10 題
在直角坐標平面上，已知圓\(C\)的半徑為\(4\sqrt{13}\)且圓心在第三象限。從圓\(C\)外一點\(P\)對圓\(C\)作兩條切線，切點為\(A,B\)而斜率為\(\displaystyle \frac{2}{3},\frac{3}{2}\)。若\(\Delta PAB\)的外接圓的圓心為\((6,4)\)，求圓\(C\)的圓心的座標=　　　。
[解答]
△PAB 外接圓圓心 (6，4) 是 PC 中點
設 C(a，b)，P(-a + 12，-b + 8)
直線 PA：2x - 3y + 2a - 3b = 0
直線 PB：3x - 2y + 3a - 2b - 20 = 0
最後利用 C(a，b)  到兩直線的距離 = 4√13，可求出 a 和 b

謝謝鋼琴老師

想請問第11、12題和計算3，感謝

第 11 題
設\(\displaystyle a_n=sin\frac{1^{\circ}}{n}\cdot \frac{1\times 2\times 3\times 4+2\times 3\times 4\times 5+\ldots+n(n+1)(n+2)(n+3)}{1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+\ldots+n(n+1)(n+2)}\)。求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)　　　。
[解答]
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4
1 * 2 * 3 * 4 + 2 * 3 * 4 * 5 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)/5