懂了！謝謝老師！

瑋岳老師，可以請教您an一般項求出來之後的過程嗎？
我an有求出來，但很醜，找題目所求的設計，似乎可以有些巧算的方法，跟您請教，謝謝！

第 12 題~~~ 後半段。

由於 bn 是一個首項為 a1+23a1−1=72，公比為 −32 的等比數列，

所以 bn=72−32n−1 。

又 bn=an+23an−1an=1−bn1+23bn

an−1=25bn1−bn

an−1−23n=1−72−32n−12572−32n−1−23n=−14151−72−32n−1 

limnan−1−23n  =−14151−0=−1415  。

想請教7、16

第 7 題：

a0b0c0 且 a+b+c=1

0a10b10a+b1

螢幕擷取畫面 2024-04-26 084313.png (10.83 KB)

2024-4-26 08:45

(ab) 在 a 軸與 b 軸所構成的直角坐標平面所圍的面積是 21。

將 c=1−a−b 代入題目給的兩個 x 與 y 的等式，

得 x=−3a−b+4y=−a−2b+3，即

xy=−3−1−1−2ab+43 

也就是 (xy) 是由點 (ab) 做線性變換、再平移而得。

由於平移不影響面積，所以 (xy) 區域面積為  −3−1−1−221=25

第 16 題：

令 F1(−3+0i)F2(3+0i)P(z=x+yi)a=5c=3，

P 點在複數平面上是位在以「F1F2 為焦點，且半長軸長為 a 的橢圓上」，

得焦半徑 PF1=a+cax 且 PF2=a−cax。

由於 A(z1)B(z2)C(z3) 到 F1 的距離 AF_1, AF_2, AF_3 成等差，

可得 Re(z_1), Re(z_2), Re(z_3) 亦成等差， \displaystyle Re(z_1+z_3) = Re(z_1)+Re(z_3) = 2 Re(z_2) = \frac{5}{2}。

註： 　　以下推一下橢圓的左焦半徑的公式：

　　　　橢圓方程式：\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ，其中 a^2=c^2+b^2。

　　　　令 P(x,y) 為橢圓上的點且左焦點 F_1(-c,0)

　　　　則 \displaystyle PF_1 = \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \sqrt{\left(x+c\right)^2+b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}

　　　　　　　　　 \displaystyle = \sqrt{\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2 +2cx + \left(b^2+c^2\right)}

　　　　　　　　　 \displaystyle = \sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2 +2cx +a^2}

　　　　　　　　　 \displaystyle = \sqrt{\left(\frac{c}{a}x+a\right)^2}

　　　　　　　　　又 -a\leq x\leq a，可知 \displaystyle -c\leq\frac{c}{a}x\leq c\Rightarrow \frac{c}{a}x+a>0

　　　　　　　　故 \displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x

太感謝老師了!

想請教老師怎麼轉換成半徑為5的圓

把橢圓先視為圓 x^2 + (y - 5)^2 = 5^2

謝謝鋼琴老師的回覆，我來試看看!