懂了！謝謝老師！

瑋岳老師，可以請教您an一般項求出來之後的過程嗎？
我an有求出來，但很醜，找題目所求的設計，似乎可以有些巧算的方法，跟您請教，謝謝！

第 12 題~~~ 後半段。

由於 \(<b_n>\) 是一個首項為 \(\displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}\)，公比為 \(\displaystyle -\frac{2}{3}\) 的等比數列，

所以 \(\displaystyle b_n = \frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}\)。

又 \(\displaystyle b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + \frac{3}{2}}\Rightarrow a_n = \frac{1+\frac{3}{2} b_n}{1-b_n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_n -1 = \frac{\frac{5}{2} b_n}{1-b_n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a_n -1\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^n = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}} = \frac{-\frac{15}{14}}{1-\frac{2}{7}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\left(a_n -1\right)\left(-\frac{3}{2}\right)^n  = \frac{-\frac{15}{14}}{1-0}=-\frac{15}{14}\) 。

想請教7、16

第 7 題：

\(a\geq0, b\geq0, c\geq0\) 且 \(a+b+c = 1\)

\(\Rightarrow 0\leq a\leq1, 0\leq b\le1, 0\leq a+b\leq 1\)

螢幕擷取畫面 2024-04-26 084313.png (10.83 KB)

2024-4-26 08:45

\((a,b)\) 在 \(a\) 軸與 \(b\) 軸所構成的直角坐標平面所圍的面積是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)。

將 \(c = 1-a-b\) 代入題目給的兩個 \(x\) 與 \(y\) 的等式，

得 \(x = -3a -b+4, y=-a-2b+3\)，即

\(\displaystyle \left(\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -3 &-1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} a \\ b\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 4 \\ 3\end{matrix}\right)\)

也就是 \((x,y)\) 是由點 \((a,b)\) 做線性變換、再平移而得。

由於平移不影響面積，所以 \((x,y)\) 區域面積為  \(\displaystyle |\left|\begin{matrix} -3 &-1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right| |\times \frac{1}{2} =\frac{5}{2}\)

第 16 題：

令 \(F_1(-3+0i), F_2(3+0i), P(z=x+yi), a=5, c=3\)，

\(P\) 點在複數平面上是位在以「\(F_1, F_2\) 為焦點，且半長軸長為 \(a\) 的橢圓上」，

得焦半徑 \(\displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x\) 且 \(\displaystyle PF_2 = a-\frac{c}{a}x\)。

由於 \(A(z_1),B(z_2),C(z_3)\) 到 \(F_1\) 的距離 \(AF_1, AF_2, AF_3\) 成等差，

可得 \(Re(z_1), Re(z_2), Re(z_3)\) 亦成等差， \(\displaystyle Re(z_1+z_3) = Re(z_1)+Re(z_3) = 2 Re(z_2) = \frac{5}{2}\)。

註： 　　以下推一下橢圓的左焦半徑的公式：

　　　　橢圓方程式：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) ，其中 \(a^2=c^2+b^2\)。

　　　　令 \(P(x,y)\) 為橢圓上的點且左焦點 \(F_1(-c,0)\)

　　　　則 \(\displaystyle PF_1 = \sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2} = \sqrt{\left(x+c\right)^2+b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)} \)

　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \sqrt{\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2 +2cx + \left(b^2+c^2\right)}\)

　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \sqrt{\frac{c^2}{a^2}x^2 +2cx +a^2}\)

　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \sqrt{\left(\frac{c}{a}x+a\right)^2}\)

　　　　　　　　　又 \(-a\leq x\leq a\)，可知 \(\displaystyle -c\leq\frac{c}{a}x\leq c\Rightarrow \frac{c}{a}x+a>0\)

　　　　　　　　故 \(\displaystyle PF_1 = a+\frac{c}{a}x\)

太感謝老師了!

想請教老師怎麼轉換成半徑為5的圓

把橢圓先視為圓 x^2 + (y - 5)^2 = 5^2

謝謝鋼琴老師的回覆，我來試看看!