請教非選第 2 題

P.S. 檔名太長上傳後變亂碼，所以刪了幾個字。

113.05.14
學校在 0508 有補充公告非選題答案

非選第 2 題
在坐標空間中，xz平面上有一直線L：3x−z−6=0 ，將此直線繞z軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和xy平面圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為　　　。
[解答]
圓錐體頂點 P(0，0，-6)、在 x 軸上的底面直徑一端點為 A(2√3，0，0)
球心 M，作 MN 垂直 PA 於 N

OM = MN =  r、OP = 6、PM = 6 - r
OA = 2√3、PA = 4√3

利用 △POA 和 △PNM 相似，可得 r = 2
此時球心 M(0，0，-2)

1.
已知abc為相異之正整數，且滿足abc=2310，則集合abc共有　　　種可能。
(1995AHSME，連結有答案https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)
(相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1334&page=1#pid5243)

2.
若有一正數數列an滿足a1=1，其中Sn=a1+a2++an，且Sn+Sn−1=an(n2) ，求S20−S19+S18=　　　。
我的教甄準備之路　求數列一般項https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507
[解答]
Sn+Sn−1=an=Sn−Sn−1=(Sn+Sn−1)(Sn−Sn−1) ，得Sn−Sn−1=1 

Sn−Sn−1=1Sn−1−Sn−2=1S2−S1=1＿＿＿＿＿＿＿Sn−S1=n−1

Sn−a1=Sn−1=n−1 
得Sn=n ，Sn=n2

3.
若an=nn+2n+2n+1n+100n+2n+2nN，則limnnk=11ak= 　　　。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
[提示]
an=n0n+2n+1n+1000n+2=n0n+20n+1000n+2=n(n+1)(n+2)
1an=1n(n+1)(n+2)=211n(n+1)−1(n+1)(n+2) 

8.
空間中有A(−132)，B(334)兩點，過A、B兩點且球心在平面E：5x−2y+5z−5=0上之球面有無限多個，則其中半徑最小之球面S的方程式為　　　。

空間中有三點A(−113)、B(315)、P(4−1−4)，若球面S過A、B兩點且球心在平面E：5x−2y+5z−14=0上，則滿足此條件的球面S有無限多個，其中半徑最小的球面方程式為　　　。
(100中科實中，連結有答案https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3156)

二、非選題
2.
在坐標空間中，xz平面上有一直線L：3x−z−6=0 ，將此直線繞z軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和xy平面圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為　　　。
相關問題https://math.pro/db/thread-1268-1-1.html

3.
右圖為一個88的黑白色棋盤，現欲將此棋盤分割成n個矩形，規定不能破壞棋盤上的任何一格，並且須滿足下述二個條件：
(1)每一個矩形中白格與黑格的個數相等；
(2)若ai為第i個矩形的面積，則a1a2an
試問滿足上述分割的最大可能n值為何？並且畫出此n值的所有分割。
(建中通訊解題第59期，連結有答案https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 45bce2/09-97050.pdf)

填充8 感謝bugmens老師
想問非選1

非選第 1 題：
已知有三正數xyz滿足xz且yz，試證明z(x−z)+z(y−z)xy 
[解答]
因為 xz 且 yz，所以 x−z0 且 y−z0。

利用 x−z y−z−z20 ，

展開後得 x−zy−z−2zx−zy−z+z20 

z2+x−zy−z2zx−zy−z 

（在不等號兩側同時加上 zx−z+zy−z ）

z2+x−zy−z+zx−z+zy−z2zx−zy−z+zx−z+zy−z 

\displaystyle \Rightarrow xy\geq \left(\sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\right)^2

\displaystyle \Rightarrow \left(\sqrt{xy}\right)^2\geq \left(\sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}\right)^2

由於 \sqrt{xy} 與 \displaystyle \sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)} 皆非負，

得 \displaystyle \sqrt{xy}\geq \sqrt{z\left(x-z\right)}+\sqrt{z\left(y-z\right)}

有兩篇 113大直高中

113.4.24版主補充
感謝,沒留意到Superconan已經將大直高中的題目放上來了

大直高中 填充題解答 供參
非選1 參考瑋岳老師的寫法 感謝~
           再試著以分析法寫看看

感謝瑋岳老師

\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)}\le\sqrt{xy}
(\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)})^2\le xy=((x-z)+z)(z+(y-z))
由柯西不等式得證。

1714493352391.jpg (55.15 KB)

2024-5-1 00:10