回覆 3# cut6997 的帖子
第10題
設a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots為非零實數數列，滿足\displaystyle a_n=\frac{a_{n-2}a_{n-1}}{2a_{n-2}-a_{n-1}},n=3,4,\ldots若對無限多個正整數n，a_n皆為整數，試求a_1,a_2須滿足的條件。
[解答]
沒有其它情況了
令 b_n = \frac{1}{a_n} ，則 b_{n}=2b_{n-1}-b_{n-2}
利用矩陣(或其它法方) 推出 b_n 的一般式
令 A = \begin{bmatrix}2 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix} ，則 \begin{bmatrix}b_{n+2}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}b_{n+1}\\
b_{n}
\end{bmatrix} ， \begin{bmatrix}b_{n+2}\\
b_{n+1}
\end{bmatrix}=A^{n}\begin{bmatrix}b_{2}\\
b_{1}
\end{bmatrix}
而 A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix} ，且有 \begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix} 及 \begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
故由二項式定理得 A^n = \begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n+1 & -n\\
n & 1-n
\end{bmatrix}
因此 b_{n+1} = b_{1}+n(b_{2}-b_{1})
而有 a_{n+1} = \frac{1}{ b_{1}+n(b_{2}-b_{1})}
當 a_1 \neq a_2 時， b_1 \neq b_2 ，
n 夠大時， a_n \approx 0 ，但 a_n 又不為 0，
故 n 夠大時， a_n 皆不為整數。
當 a_1 = a_2 時， b_1 = b_2 ， a_n =a_1 。
故符合無限多項為整數的情形只在 a_1 = a_2 且 a_1 為整數發生。
