請見附檔

5.
有一積木，其中ACFD和ABED是兩個全等的等腰梯形，BCFE是一個矩形。設A點在直線BC的投影為M且在平面BCFE的投影為P。已知AD=30、CF=40、AP=15且BC=10。將平面BCFE置於水平桌面上，且將與BCFE平行的平面稱為水平面。試回答下列問題。
(1)若水平面W介於A，P之間且與A的距離為x，試以x表示W與此積木所截的矩形區域之面積
(提示：令Q為FC上一點，滿足AQ與DF平行，利用ABC、ACQ為全等三角形去解)
(2)將線AP的n等分點沿著向量AP的方向依序設為A＝P0，P1，，Pn−1，Pn=P。在每一個分段Pk−1Pk，考慮以通過Pk的水平面與此積木所截的矩形為底、Pk−1Pk為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(無需化簡)。
(3)以定積分形式表示此積木的體積。
(4)以定積分求出此積木的體積之值。
111分科測驗數學甲

請問第10題調和數列
除了a1=a2且都是整數外，還有哪些情況能符合

第10題
設a1a2an為非零實數數列，滿足an=an−2an−12an−2−an−1n=34若對無限多個正整數n，an皆為整數，試求a1a2須滿足的條件。
[解答]
沒有其它情況了

令 bn=1an，則 bn=2bn−1−bn−2

利用矩陣(或其它法方) 推出 bn 的一般式

令 A=21−10 ，則 bn+2bn+1=Abn+1bn ， \begin{bmatrix}b_{n+2}\\ b_{n+1} \end{bmatrix}=A^{n}\begin{bmatrix}b_{2}\\ b_{1} \end{bmatrix}

而 A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} ，且有 \begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} 及 \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

故由二項式定理得 A^n = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n+1 & -n\\ n & 1-n \end{bmatrix}

因此 b_{n+1} = b_{1}+n(b_{2}-b_{1})

而有 a_{n+1} = \frac{1}{ b_{1}+n(b_{2}-b_{1})}

當 a_1 \neq a_2 時， b_1 \neq b_2 ，
n 夠大時， a_n \approx 0 ，但 a_n 又不為 0，
故 n 夠大時， a_n 皆不為整數。

當 a_1 = a_2 時， b_1 = b_2 ， a_n =a_1 。
故符合無限多項為整數的情形只在 a_1 = a_2 且 a_1 為整數發生。

好的，謝謝寸絲老師
因為我看分數感覺只有可能是這題沒拿到分數，
我是寫
1/a1=s
1/a2=s+d
1/an=s+(n-1)d
=>an=1/(s+(n-1)d) ,若d不等於0,則當n夠大時，an<1不為整數
=>a1=a2
不過看來是我教育類的基本沒分