第 10 題
用三次函數的對稱中心在 x=1/2，可得原式 = 112 * f(1/2) + f(1) = -55。
（k=113 時沒有另一個對應的項，所以另外加）

請教填充3

引用:

原帖由 ChuCH 於 2024-6-17 20:00 發表
請教填充3

#3
令(4y-7z)/x=(2x-2z)/(5y)=(x+2y)/z=t
t*x-4y+7z=0
-2x+5t*y+2z=0
-x-2y+t*z=0
令△=
|t    -4    7  |
|-2   5t    2 |  =0
|-1   -2    t  |
5t^3+31t+36=0 ,解出t=-1
代入原式得x:y:z= (-9):4:1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-17 21:49 編輯 ]

我跟廣義柯西不等式不熟...
以下提供兩個微積分的解法，大同小異。

(Sol1) Lagrange multiplier
令g(ab)=a227+1b2−1、f(ab)=a+b，所求為 f(ab) 的最小值，ab須滿足g(ab)=0。
定義f=(fafb)。
極值發生時g=f，for some real number ，是故：
(−a354−2b3)=()，因此−a354=−2b3，即a3=27b3  (或是a=3b)
因此a=6b=2，由大致函數圖形可判斷此時為最小值。

(Sol2) Implicit Differentiation
將 b視為a的函數，並將a227+1b2−1=0對a 做微分，可得−a354−2b3(dadb)=0。
設 a+b=k ，則在以a為橫軸，b為縱軸的平面上，a+b=k 是一條斜率為-1的直線，將dadb=−1帶入上式，可得a3=27b3，後續計算就跟上面一樣。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-25 10:11 編輯 ]