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113武陵高中

第 10 題
用三次函數的對稱中心在 x=1/2,可得原式 = 112 * f(1/2) + f(1) = -55。
(k=113 時沒有另一個對應的項,所以另外加)

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請教填充3

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引用:
原帖由 ChuCH 於 2024-6-17 20:00 發表
請教填充3
#3
令(4y-7z)/x=(2x-2z)/(5y)=(x+2y)/z=t
t*x-4y+7z=0
-2x+5t*y+2z=0
-x-2y+t*z=0
令△=
|t    -4    7  |
|-2   5t    2 |  =0
|-1   -2    t  |
5t^3+31t+36=0 ,解出t=-1
代入原式得x:y:z= (-9):4:1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-17 21:49 編輯 ]

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填充第9題

我跟廣義柯西不等式不熟...
以下提供兩個微積分的解法,大同小異。

(Sol1) Lagrange multiplier
g(ab)=a227+1b21f(ab)=a+b,所求為 f(ab) 的最小值,ab須滿足g(ab)=0
定義f=(fafb)
極值發生時g=f,for some real number ,是故:
(a3542b3)=(),因此a354=2b3,即a3=27b3  (或是a=3b)
因此a=6b=2,由大致函數圖形可判斷此時為最小值。

(Sol2) Implicit Differentiation
b視為a的函數,並將a227+1b21=0a 做微分,可得a3542b3(dadb)=0
設 a+b=k ,則在以a為橫軸,b為縱軸的平面上,a+b=k 是一條斜率為-1的直線,將dadb=1帶入上式,可得a3=27b3,後續計算就跟上面一樣。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-25 10:11 編輯 ]

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