我跟廣義柯西不等式不熟...
以下提供兩個微積分的解法,大同小異。
(Sol1) Lagrange multiplier
令
g(a
b)=a227+1b2−1、f(a
b)=a+b,所求為
f(a
b) 的最小值,
a
b須滿足
g(a
b)=0。
定義
f=(
f
a
f
b)。
極值發生時
g=
f,for some real number

,是故:
(−a354
−2b3)=(

),因此
−a354=−2b3,即
a3=27b3 (或是a=3b)
因此
a=6
b=2,由大致函數圖形可判斷此時為最小值。
(Sol2) Implicit Differentiation
將
b視為a的函數,並將
a227+1b2−1=0對
a 做微分,可得
−a354−2b3(dadb)=0。
設 a+b=k ,則在以a為橫軸,b為縱軸的平面上,a+b=k 是一條斜率為-1的直線,將
dadb=−1帶入上式,可得
a3=27b3,後續計算就跟上面一樣。
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本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-25 10:11 編輯 ]