已知函數序列\(f_1(x)=\sqrt{x}\)、\(f_2(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}\)、\(f_3(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)、\(\ldots\)，依此類推。試求方程式\(f_{10}(x)=2022\)的所有實數解(四捨五入取到整數)。

謝謝

偷懶我就不寫證明，寫一些想法供參考

1. 推(猜)測 \( f_{10} (x) \)，的 \( 10 \) 是一個不重要的數，換成 \( 100 \), \( 999 \) 亦無妨

2. 也就是改成 \( f_{999} (x) =2022 \) 的答案及作法，應該也沒什麼變化

3. 故猜測固定正實數 \( x \) 時， \( < f_n(x)> \) 應該是一個「看起來」很快收斂的數列

4. 例：若 \( x=100 \), \( f_1(x) = 10 \), \( f_2(x) \approx 10.488 \), \( f_3(x) \approx 10.511 \), \( f_4(x) \approx 10.512 \)...

也可以再試其他數字例如若 \( x=10000 \)，不難發現，只有 \( f_1(x) \) 到 \( f_2(x) \) 增加約 \( 0.5 \)，之後數列以極微小的幅度再增加

5. 延續上可的猜測，可推(猜)得 \( f_1(x) = \sqrt{x} \approx 2022 -0.5 \Rightarrow x \approx 2022^2 -2022 +0.25 \)

6. 上面的估計可能是對的，但有點討厭，在平方(去根號) 時，會讓誤差放大，降低對答案是 \( 2022^2 -2022 \) 的信心

所以寫證明的時候，想用 5. 的估計的話，應該不太容易。回到原方程式，整理可得以下：

\( f_{10}(x) = 2022 \Rightarrow x + f_9(x) =2022^2 \Rightarrow x = 2022^2 - f_9(x) \approx 2022^2 -2022 \)

剩下的就是認真估計 \( f_9(x) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2023-9-24 14:04 編輯 ]