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112年大學分科測驗數甲詳解(含部分一題多解)俞克斌老師

112年大學分科測驗數甲詳解(含部分一題多解)俞克斌老師

個人淺見,獨力完成,無團隊協助
若有疏漏,敬請指正,謝謝

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112年分科測驗數(甲)試題+詳解00-1.pdf (1.67 MB)

2023-7-12 18:31, 下載次數: 1546

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112年大學分科測驗數甲詳解-續

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112年分科測驗數(甲)試題+詳解00-2.pdf (1.25 MB)

2023-7-12 18:33, 下載次數: 1229

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第3題

這題的答案是對,但詳解沒有「詳細」。
其實這個寫成黎曼和後,缺了一項,所以應該要再加一項減一項(看是要補第0項或第n項都可以,一個左和一個右和)
然後最後的再說明減的那一項取極限後是0。

若視為左和,
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times0^2}+\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}-\sqrt{4n^2+9\times0^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{6n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)

若想視為右和,也可以
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}+\sqrt{4n^2+9\times n^2}-\sqrt{4n^2+9\times n^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{13}n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)

要嚴僅的話,還要說明limit拆兩個相減,必須要極限存在。

事實上,中間拿掉有限項,收斂值不變,但高中應該是沒講這個。

我的感覺是出題老師少寫了一項,只是還好答案沒變。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 17:27 編輯 ]

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第7題

選項(4)其實是在提醒學生對稱,
所以選項(5)
移到10跟移到2機率一樣,在算期望值時,平均就是6。
移到8跟移到4機率一樣,在算期望值時,平均就是6。
移到6算期望值時,本來就是6。
移到12時,會多出6,所以只要算多出多少即可。

因此8次回到12的機率\(C^8_4/2^8\)
答案為\(E(X_8)=6+6P(X_8=12)=6+6\times C^8_4/2^8=6+\frac{420}{256}\)
明顯後面的分數比1大,所以\(E(X_8)>7\)

這題目出的不好,計算量太大,若要減少計算,其實改成「\(E(X_8)>6\)」或「\(E(X_9)=6\)」,這樣就可以不用算,一看就知道答案。
可以推廣成「對於所有的\(n\),算\(E(X_{n})\)」

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-15 09:22 編輯 ]

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第8題

這題其實在引導學生求出複數方程式\(z^3=4i\bar{z}\)的所有解,當然,題目不會直接這樣寫。
(2)提示說此方程式都在半徑2的圓上
(3)提示說只要有一解,則轉90度,就還會是解。光這點,就知道解的數目是4的倍數,所以(5)是錯的。
(4)就代一下角度\(\pi/6\)即可知不合。

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第11題

分成兩類
(1) 1~9各1張,選四張排出比6400大的有幾個?\(1\times5\times7\times6+3\times8\times7\times6=1218\)
(2) 12345679選兩張,與兩張8來排列,有幾個?\(C^4_2\times8\times7=336\)
兩個加起來,共\(1554\)

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 14:45 編輯 ]

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非選17題另解:
1)根據15、16題可得原橢圓Γ之方程式 x^2/4 + y^2/5=1
2)由新橢圓Γ' 可算出P' 座標 (3 √2, 2)
3)以O為圓心,OP' 為半徑,另寫圓O之方程式 x^2 + y^2 = 9/2
4)原橢圓Γ跟圓O解聯立,答案取第四象限之交點
想法來源:
91學年度指考數甲參考試卷多選題4之選項(4)

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