國立金門高級中學112學年第一次教師甄試(數學科)筆試試題及參考答案

一、填充題
1.
設P為正方形ABCD的內部一點，其中AP=32BP=3CP=6 ，則正方形ABCD的面積為　　　。

已知P為正方形ABCD內部的一點，若AP=7，BP=5，CP=1，試求正方形ABCD的面積。
(100彰化藝術高中,田中高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)

2.
A箱中有1黑1白球，B箱中有1白球；每次先由甲自A箱隨機取一球放入B箱中，再由乙自B箱隨機取一球放入A箱，這樣稱為一局，以Pn表示第n局結束時，A箱中恰一黑一白球的機率，求limnPn=　　　。
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=11#pid22298

4.
半圓O的半徑為1，A為直徑延長線上一點，OA=2，B為半圓上任一點，以AB為一邊做正三角形ABC，求四邊形OACB面積的最大值。
我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779

7.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。
(110台北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3518&page=1#pid22923)

8.
若1032n=ancnbndn ，其中n為正整數，則b10b20之值為　　　。
我的教甄準備之路　矩陣n次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

9.
求2022111末兩位數是多少？

10.
已知ab為正整數，設函數f(x)=limn2x2n+32x2n+1+ax2+bx−1，若xR f(x)為連續函數，則序對(ab)=　　　。

f(x)=limnx2nx2n−1+ax2+bx，若f(x)在實數域上是連續函數，則(ab)為多少？
(107文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2949&page=5#pid18510)

二、計算與說明題
2.
設x為有理數，將(x+1)(x−2)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為1+5x ，則x的值為多少？

設x為實數，將正數7x−6小數點後第一位四捨五入，得整數4x+1，試求x之值。
(104興大附中數理資優班，https://math.pro/db/thread-2841-1-1.html)

4.
O為正方形ABCD的中心。程式設定讓跳跳蛙在圖中諸點之間跳動，每次都可以跳到相鄰的任何一點，例如：由A點可跳到O、B、D中的任何一點，由O點可跳到A、B、C、D中的任何一點。設從O點開始，經 n次跳動返回O點的路線有an種，而經n次跳動到達A點的路線有bn種。
(1) 試求數列an的遞迴關係式
(2) 承(1)，試證：an=2nFn−1，其中Fn為費氏(Fibonacci)數列

自己寫的填充題，計算題沒靈感。

計算2.
設x為有理數，將(x+1)(x−2)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為1+5x ，則x的值為多少？
[解答]
假設x=5mmZ
則原數為(5m+1)(5m−2)，四捨五入後的數字為1+m

可知m+21(5m+1)(5m−2)m+1orm+1(5m+1)(5m−2)m+23

若是m+21(5m+1)(5m−2)m+1
整理化簡後可得 625m2−30m75
m2−30m=63647374，利用同餘篩選並檢驗發現只有64符合題意
解得m=32或是m=−2，對應到x=532x=5−2

若是m+1(5m+1)(5m−2)m+23
整理化簡後可得 75m2−30m875
m2−30m=75768687，利用同餘篩選並檢驗發現沒有整數解
故綜合以上，x=532x=5−2

計算4.
O為正方形ABCD的中心。程式設定讓跳跳蛙在圖中諸點之間跳動，每次都可以跳到相鄰的任何一點，例如：由A點可跳到O、B、D中的任何一點，由O點可跳到A、B、C、D中的任何一點。設從O點開始，經 n次跳動返回O點的路線有an種，而經n次跳動到達A點的路線有bn種。
(1) 試求數列an的遞迴關係式
(2) 承(1)，試證：an=2nFn−1，其中Fn為費氏(Fibonacci)數列
[解答]
(1)
an=4bn−1bn=2bn−1+an−1 

化簡後得到an+1=4an−1+2ann2

(2)
  a1=0a2=4
解得

\displaystyle \begin{align*} a_n &=\frac{2}{\sqrt{5}}(1+\sqrt{5})^{n-1}-\frac{2}{\sqrt{5}}(1-\sqrt{5})^{n-1}\\          &=\frac{1}{\sqrt{5}}\times 2^n\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\times 2^n\times (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\          &=2^n[\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}]\\          &=2^n\times F_{n-1} \end{align*}

PS.\displaystyle F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n

計算1
在三角錐P-ABC中，\overline{PA}垂直底面ABC，\angle ACB=90^{\circ}，\overline{AF}⊥\overline{PB}、\overline{AE}⊥\overline{PC}。若\overline{PA}=\overline{AB}=2，求\Delta AEF的最大面積是多少？

計算2
設x為有理數，將(x+1)(x-2)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為1+5x ，則x的值為多少？

引用:

原帖由 QBey 於 2023-7-6 23:38 發表
自己寫的填充題，計算題沒靈感。

可以請問填5
另一解-1-√6/2不合的理由嗎？
謝謝

應該沒有不合

這題答案應是 √(63 - 24√6) / 2 - 1，大約是 0.0262
以地球半徑約 6400 公里來看，離地球最近只有約 168 公里，幾乎要上演彗星撞地球

感謝鋼琴大回覆解說