112基隆女中教師甄選
數學科試題及答案

一、填充題
3.
將十個半徑為1的球堆成一個三角垛，則最上面那顆球的最高點離地面的高度為　　　

7.
已知有甲、乙、丙、丁四座城市，某商人最初待在甲城市，為了販賣商品，每日會從所在城市移動到其他三座城市的其中一座，移動到任一座的機會皆相同，則三日後他在乙城市的機率為何？

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3165&page=2#pid20278

二、計算題
1.
比較e與e的大小。

e為自然常數：
(1)e與e何者較大？
(2)試證明之。
(111彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3649&page=1#pid24226)

Screenshot from 2023-05-28 23-59-01.png (35.63 KB)

2023-5-29 00:00

8.
平面上，P為AB上一點滿足AP=5且BP=3，Q為平面上一點滿足AQ=7且BQ=3，若以AB為直徑作一圓C，自P向Q作射線PQ交圓C於點R，試求PR的長度。
[解答]
cosABQ=(8^2+3^2-7^2)/(2*8*3)=1/2 => 角BPQ=60度,
設圓心為C(0,0),P(1,0),PR=t => R(1+t/2,ㄏ3/2*t)
CR^2=1+t+t^2/4+3t^2/4=t^2+t+1=4^2 => t^2+t-15=0 , t=(-1+ㄏ(1^2-4*1*(-15)))/(2*1)
故所求=t=(-1+ㄏ61)/2

2.
[2023]的個位數為　　　。(1618為黃金比例)
[解答]
令 a=(1+ㄏ5)/2為黃金比例 , b=(1-ㄏ5)/2 , f(n)=a^n+b^n
則 a,b 是 x^2=x+1 的兩根 , 易知 f(n+2)=f(n+1)+f(n) , f(1)=1,f(2)=3
觀察 f(n)除以10之餘數得 1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2  ,1,3........ 可知是12個一循環 , 2023=12*168+7
故 f(2023)=a^2023+b^2023除以10之餘數=f(7)除以10之餘數=9, 又 -1<b^2023<0 => [a^2023] 除以10之餘數=9 即為所求

想問6，11，證明2

填充 5.
從集合012345678910中隨機選取4個互不相同的數，則其中任意兩個數的和均不等於10的機率為　　　。
[解答]
將和為 10 的兩數分成一組，以及單獨 5 一個數一組，可得以下
(010)(19)(28)(37)(46) 及 5
欲使選取到的數，任兩個的和均不等於 10
則每組至多取一數
再分成沒5和有5的情況
故所求 C411C4524+C3523=3316

填充11.
已知三直線L1：xa=yb=zc，L2：2x−2=4y+2=3z+1，L3：4x−4=2y+1=3z−2，若直線L1與L2、L3均相交，求a:b:c=　　　。(以最簡整數比表之)
[解答]
令 P(2+2t−2+4t−1+3t) 為 L1 和 L2 的交點，顯然 P 非原點。

令 Q(4+4s−1+2s2+3s) 為 L1 和 L3 的交點。

以上兩點均在 L1:xa=yb=zc 且 P 非原點，故存在實數 k 滿足

k(2+2t−2+4t−1+3t)=(4+4s−1+2s2+3s)

2k+2kt−2k+4kt−k+3kt=4+4s=−1+2s=2+3s6k8k=9+6s=8+6s 

k=−21s=−2t=3

故  P  之坐標為 P(−4−5−4)，所求 a:b:c=4:5:4

引用:

原帖由 tsusy 於 2023-5-30 20:50 發表
填充 6. 將和為 10 的兩數分成一組，以及單獨 5 一個數一組，可得以下
(010)(19)(28)(37)(46) 及 5
欲使選取到的數，任兩個的和均不等於 10
則每組至多取一數
再分成沒5和有5的情況
故所求 \( \frac{C^ ...

tsusy解的是填五~ 他問填六

填充第 6 題
設坐標平面上三點A(10)、B(01)、P(xy)，已知經平面線性變換T作用後，A點被映射至點A(13) 、B點被映射至點B(−31) ，而P點被映射至點P。若點P先對直線L：y=2x鏡射，再經過T作用後，其結果相當於點P先經過T作用，再對直線L'：y=mx鏡射，則m之值為　　　。
[解答]
矩陣 T =
[1   -√3]
[√3    1]

不妨設 P(2，-1)，它對 y = 2x 鏡射後是 Q(-2，1)
Q 經 矩陣 T 變換後是 Q'(-2 - √3，1 - 2√3)
P 經 矩陣 T 變換後是 P'(2 + √3，-1 + 2√3)
直線 P'Q' 的斜率 = -1/m
求出 m = (-8 - 5√3) / 11