這題跟前幾週中山大學的雙週一題類似。

使用排容：\(C^9_5-8C^6_2+22=28\)種。

直接列舉最快了
234, 245, 256, 345, 346, 356，共6種。

如果不限制邊相異，或是只限制最大邊，都有一般性的公式。可以參考「wiki: Integer triangle」。

因為\(\frac1s+\frac1p=\frac3q\)，同乘\(spq\)得\(pq+sq=3sp\)，又因為\(s=pq\)，所以\(pq+pq^2=3p^2 q\)
所以\(1+q=3p\)，所以\(p=2\)，進而推得\(q=5,s=10\)，所以總和為\(17\)。

引用:

原帖由 fierthe 於 2023-5-8 01:25 發表
計算證明 1

用了一些複數的運算性質也算出答案來了，甚至還寫出了六次多項式的除法，越除會越開心。
但你不會希望在考場上算出餘式有一次項來的，所以算是個欣賞用的解法囉！

6659
6660 ...

這樣你也算的出來，太強了…

建立球面座標系
可令 x=cosAcosB , z=cosAsinB , y=sinA , -90度<=A<=90度 , 0度<=B<360度
xy+yz=y(x+z)=sinAcosA(sinB+cosB)=1/2sin2A*ㄏ2*sin(B+45度)
所以  A=45度  , B=45度 時 或 A=-45度 , B=225度 時有最大值ㄏ2/2
此時 x=z=1/2 , y=1/ㄏ2  或  x=z= -1/2 , y= -1/ㄏ2

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-8 10:11 編輯 ]

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-5-7 23:17 發表

有沒有\(x^2\)做法都一樣。

設\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)
則\(f'(x)=3x^2+4x=(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\beta)(x-\gamma)\)
所求\(=\displaystyle\left|\frac{(\beta-\alpha)(\ga ...

這題若沒有要背那個公式或用微分方式
還可以用"范德蒙行列式"+"根與係數"求出來

雖然root test強於ratio test，但因為每次都ratio test比較好算，而且在taylor series時，也都用ratio test在判斷收斂區間，所以還是不能捨掉ratio test。
不過若硬要使用root test來取代ratio test的題目的話，我查了一下，要下面幾個lemma
1) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty\)
2) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac1e\)
3) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(kn)!}{(n!)^k}}=k^k, k\in\mathbb{N}\)

此題剛好是3) ，所以…\(3^3=27\)

或是直接使用stirling approximation，在\(n\)很大時
\(\displaystyle n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\)
代入即可。

出題教授可能剛好有教到這個，然後就直接拿來考了…
雖然說教甄沒有範圍，但感覺不怎麼適合。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-5-8 10:59 編輯 ]

引用:

原帖由 fierthe 於 2023-5-8 00:30 發表
填充 10

這邊利用了 root test 比 ratio test 還強的方法來做
其他的請參考圖片~

這內容有提到的關鍵正是
"柯西第二極限定理"

然後我覺得這跟ratio test ,root test沒太大關係?
ratio test 只是在測驗 sigma {a_n} 這級數是否收斂
利用L=limit a_(n+1)/a_n 來看
但這題L=27 >1 ,ratio test 說這樣級數會發散

然後要怎說明L=limit  {a_(n+1)/a_n} =limit ( a_n)^(1/n) ?
這地方則是使用到"柯西第二極限定理"

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-5-8 11:09 編輯 ]

計算第 1 題

比較樸實的方法
考場上有做對，考後重寫一直各種計算錯誤～

IMG_0599.jpeg (900.56 KB)

2024-3-9 13:17

[ 本帖最後由 Superconan 於 2024-3-9 13:17 編輯 ]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-5-8 10:31 發表

這內容有提到的關鍵正是
"柯西第二極限定理"

然後我覺得這跟ratio test ,root test沒太大關係?
ratio test 只是在測驗 sigma {a_n} 這級數是否收斂
利用L=limit a_(n+1)/a_n 來看
但這題L=27 >1 ,ratio test 說這 ...

可以參考Rudin高微的68頁Thm 3.37 (這次換一本比較常見的)
定理本身跟root test與ratio test沒有關係，只是通常都會聯想到。

以下截圖自課本：

a.png (163.02 KB)

2023-5-8 11:55

其中最後提到的Thm 3.20(b)是這個

b.png (20.39 KB)

2023-5-8 11:55

若不習慣高微的證法，也有比較直覺的方式

c.png (13.49 KB)

2023-5-8 11:55

檔案來源在附件中。