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原帖由 CYC 於 2023-4-24 14:59 發表 ![](https://math.pro/db/images/common/back.gif)
請問填充第七題
設 \(g(x)=f(x)\cdot (x+1)\) ,在 \(x>0\) 的情況下,我們所要找的就是\(g(x)>k\)恆成立
想法是那就找g(x)的最小值。利用導數為0去找。
而解 \(g'(x)=0\) , 即是解 \(x^2-x\ln (x+1)-\ln (x+1)-1=0\) ,
而不難看出 \(x=-1\) 是個看起來可用的解,但實際上卻不能用,不過可以靠他幫我們因式分解,即得到
解 \((x+1)(x-1-\ln (x+1))=0\) 推得導數為0之處,會有 \(x-1=\ln (x+1)\) ,
接著畫圖找兩圖形 \(y=x-1\text{ and }y=\ln (x+1)\) 的交點,可得到兩點, 取x座標為正的那點,設其x座標為 \(a\)
由圖形也不難推得,\(g'(x)\) 在 \(x=a\) 附近是由負轉正,故 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 有最小值。
代x=a 到g(x)中,記得利用 \(a-1=\ln (a+1)\) ,即可得到 \(g(a)=a+1\)
而比較 \(x-1\text{ and }\ln (x+1)\) , 可得\(2-1=1<\ln(2+1)\text{ and }3-1=2>\ln(3+1)\),故a介於2~3之間
故g(x)在x>0的最小值介於2+1~3+1之間,取k=3